A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
$1.$ Vectơ pháp tuyến của mp $(P)$: $\overrightarrow{n} \ne \overrightarrow{0}$ là vectơ pháp tuyến của $(P)\Leftrightarrow \overrightarrow{n} \perp (P)$.
$2.$ Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(P)$ : hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(P)\Leftrightarrow\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ có giá cùng song song với $(P)$.
$3.$ Quan hệ giữa vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ và cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ : $\overrightarrow{n}=\left[ {\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}} \right]$
$4.$ Phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $M_0(x_0,y_0,z_0)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A,B,C)$ :
$(P): A(x-x_0)+b(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
Phương trình mặt phẳng dạng tổng quát $(P) : Ax+By+Cz+D=0$ thì có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A,B,C)$ .
$5.$ Phương trình mặt phẳng đi qua $A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)$ :
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
$6.$ Phương trình các mặt phẳng tọa độ: $(Oyz): x = 0; (Oxz): y = 0; (Oxy): z = 0$.
$7.$ Khoảng cách từ $M_0(x_0,y_0,z_0)$ đến $(P) : Ax+By+Cz+D=0$
d$(M;(P))=\frac{\left| {Ax_0+By_0+Cz_0+D} \right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
$8.$ Góc giữa hai mặt phẳng: $(P) : Ax+By+Cz+D=0$ và $(Q) : A'x+B'y+C'z+D'=0$
$\cos \left ((P), (Q) \right )=\frac{\left| {AA'+BB'+CC'} \right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}.\sqrt{A'^2+B'^2+C'^2}}$
Nhận xét : Muốn viết phương trình mặt phẳng thì có hai phương pháp chính
Phương pháp $1$. Xác định $1$ điểm mà mặt phẳng đi qua và $1$ vectơ pháp tuyến.
Phương pháp $2$. Xác định $1$ vectơ pháp tuyến và tham số $D$ trong phương trình dạng tổng quát $Ax+By+Cz+D=0$.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng I. Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến
Ví dụ $1.$ Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;4;1), B(–1;1;3) $ và mặt phẳng
$(P): x –3y + 2z –5 = 0 $. Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua hai điểm $A, B$ và vuông
góc với mặt phẳng $(P).$
Lời giải :
mp$ (Q)$ đi qua $A, B$ nên $\overrightarrow{AB}=(-3,-3,2)$ là một vec chỉ phương (VTCP) của mp$(Q)$.
Mặt khác mp$(Q)$ vuông góc với mp$(P) \Rightarrow $ vec pháp tuyến (VTPT) $\overrightarrow{n_P}$ của $(P)$ cũng là một VTCP của $(Q)$
Như vậy, VTPT của $(Q) : \overrightarrow{n_Q}=\left[ {\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{AB}} \right]=(0;-8;-12)$
Hiển nhiên thấy $(Q)$ đi qua $A(2;4;1)$ và $\overrightarrow{n_Q}=(0;-8;-12)$ nên
$(Q) : 0(x-2)-8(y-4)-12(z-1)=0$
$(Q) : 2y + 3z -11 = 0$ .
Ví dụ $2.$ Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm
$A(2;1;3),B(1;-2;1)$ và song song với đường thẳng $d :\begin{cases}x=-1+t \\ y=2t\\z=-3-2t \end{cases} (t \in \mathbb{R})$.
Lời giải :
mp$ (P)$ đi qua $A, B$ nên $\overrightarrow{BA}=(1,3,2)$ là một VTCP của mp$(P)$.
Mặt khác mp$(P)$ song song với đường thẳng $d \Rightarrow $ VTCP $\overrightarrow{u_d}$ của $(d)$ cũng là một VTCP của $(P)$
Như vậy, VTPT của $(Q) : \overrightarrow{n_Q}=\left[ {\overrightarrow{BA},\overrightarrow{u_d}} \right]=(-10;4;-1)$
Hiển nhiên thấy $(Q)$ đi qua $B(1;-2;1)$ và $\overrightarrow{n_Q}=(-10;4;-1)$ nên
$(P) : -10(x-1)+4(y+2)-1(z-1)=0$
$(P) : 10x - 4y + z -19 = 0$ .
Dạng II: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách
Ví dụ $3.$ Trong
không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua
gốc tọa độ $O$, vuông góc với mặt phẳng $(Q): x + y + z = 0$ và cách
điểm $M(1; 2; –1)$ một khoảng bằng $\sqrt 2$.
Lời giải :
Phương trình mp$(P)$ đi qua $O(0,0,0)$ nên có dạng : $Ax+By+Cz=0 (A^2+B^2+C^2 \ne 0)$.
Vì
$(P) \perp (Q)$ nên
$\overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_Q}=0\Leftrightarrow
1.A+1.B+1.C=0\Leftrightarrow C=-A-B (1)$
d$(M,(P)) = \sqrt 2
\Leftrightarrow \frac{\left| {A +2B -C} \right|}{\sqrt{A^2+ B^2+
C^2}}=\sqrt 2 \Leftrightarrow (A + 2B -C)^2 = 2(A^2 + B^2 +C^2)
(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta được: $(2A + 3B )^2 = 2(2A^2 + 2B^2 +2AB)
\Leftrightarrow 8AB + 5B^2 = 0 \Leftrightarrow \left[
{\begin{matrix}B=0 (3)\\ 8A+5B=0 (4) \end{matrix}} \right.$
Từ $(3): B = 0, C = –A$. Chọn $A = 1, C = –1 \Rightarrow (P): x - z = 0$
Từ $(4): 8A + 5B = 0$. Chọn $ A = 5, B = –8 \Rightarrow C = 3\Rightarrow (P): 5x - 8y + 3z = 0$ .
Ví dụ $4.$ (Đại học Khối $D-2010$)
Trong không gian toạ độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng
$(P): x + y + z − 3 = 0$ và $(Q): x − y + z − 1 = 0$. Viết phương trình
mặt phẳng $(R)$ vuông góc với $(P)$ và $(Q)$ sao cho khoảng cách từ $O $
đến $(R)$ bằng $\sqrt 2.$
Lời giải :
Ta có vectơ pháp tuyến của $(P)$ và $(Q)$ lần lượt là
$\overrightarrow{n_P}= (1; 1; 1) $ và $\overrightarrow{n_Q}= (1; − 1; 1)$, suy ra:
$\left[ {\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}} \right]= (2; 0; −2) $ là vectơ pháp tuyến của $(R)$.
Mặt phẳng $(R)$ có phương trình dạng $x − z + D = 0. $
Ta
có d$(O,(R)) = \frac{|D|}{\sqrt 2}$, suy ra: $\frac{|D|}{\sqrt 2}=
2 \Leftrightarrow D = 2\sqrt 2 $ hoặc $D = −2 \sqrt 2 .$
Vậy phương trình mặt phẳng $(R): x − z + 2\sqrt 2 = 0$ hoặc $ x − z − 2\sqrt 2 = 0.$
Dạng III: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu
Ví dụ $5.$ Trong
không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:
\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{2}=\frac{z}{1}$ và mặt cầu $(S): x^2 + y^2 +
z^2 - 2x - 2y - 4z + 2 = 0$ . Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ song song
với $d$ và trục $Ox$, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu $(S).$
Lời giải :
$(S)$ có tâm $I(1; 1; 2),$ bán kính $R = 2$.
$d$ có VTCP $\overrightarrow{u} = (2;2;1)$ .
$\begin{cases}(P)
\parallel d \\(P) \parallel Ox \end{cases} \Rightarrow (P) $ có VTPT
$\overrightarrow{n} = \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}}
\right] = (0;1;-2)$. Trong đó $\overrightarrow{u}=(1,0,0)$ là VTCP của
trục $Ox$.
Suy ra PT của $(P)$ có dạng: $y - 2z + D = 0$ .
$(P)$
tiếp xúc với $(S) \Leftrightarrow $ d$(I,(P)) = R \Leftrightarrow
\frac{\left| {1-4+D} \right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=2\Leftrightarrow
|D-3|=2\sqrt 5\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} D=3+2\sqrt 5\\
D=3-2\sqrt 5\end{matrix}} \right.$
Vậy
$(P): y - 2z + 3+2\sqrt 5 = 0 $ hoặc $(P): y - 2z + 3 - 2\sqrt 5 = 0$ .
Dạng IV: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc
Ví dụ $6.$ Trong
không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(Q)$ chứa đường thẳng
$(d): \frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-2}$ và tạo với mặt phẳng $(P)
: 2x - 2y - z +1 = 0$ một góc $60^\circ$. Tìm tọa độ giao điểm $M$ của
mặt phẳng $(Q)$ với trục $Oz.$
Lời giải :
$(d)$ qua điểm $A(1;0;0)$ và có VTCP $\overrightarrow{u} = (1;-1;-2)$
$(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n_P} = (2;-2;-1) .$
Giao điểm $M(0;0;m)$ cho $\overrightarrow{AM} = (-1;0;m)$
$(Q)$ có VTPT $\overrightarrow{n_Q} =\left[ {\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u}} \right]= (m;m - 2;1)$
$(Q)$ và $(P): 2x - 2y - z +1 = 0 $ tạo thành góc $60^\circ$ nên :
$|\cos
(\overrightarrow{n_Q},\overrightarrow{n_P})|=\frac{1}{2}\Leftrightarrow
\frac{1}{\sqrt{2m^2-4m+5}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow
2m^2-4m+1=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}m=2 - \sqrt 2\\ m=2 +
\sqrt 2 \end{matrix}} \right.$
Kết luận : $M(0;0;2 - \sqrt 2)$ hay $M(0;0;2 + \sqrt 2)$.
C. CÁC BÀI TOÁN QUA CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC
Bài $1$. (Đại học Khối $B-2010$)
Trong
không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm $A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0;
c)$, trong đó $b, c$ dương và mặt phẳng $(P): y − z + 1 = 0.$ Xác định
$b$ và $c$, biết mặt phẳng $(ABC)$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và
khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng $\frac{1}{3}$.
Hướng dẫn :
Mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình: $\frac{x}{1}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
Mặt phẳng $(ABC)$ vuông góc với mặt phẳng $(P): y − z + 1 = 0$, suy ra: $\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=0 (1)$
Ta
có: d$(O, (ABC)) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow
\frac{1}{\sqrt{\displaystyle{1+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}}=
\frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=8 (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$, do $b, c > 0$ suy ra $b = c =\frac{1}{2} $.
Bài $2$. (Đại học Khối $B-2009$)
Trong
không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện $ABCD$ có các đỉnh
$A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1)$ và $D(0;3;1)$. Viết phương trình mặt
phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ sao cho khoảng cách từ $C$ đến $(P)$ bằng
khoảng cách từ $D$ đến $(P)$.
Hướng dẫn :
Trường hợp $1 : (P) \parallel CD$. Ta có : $\overrightarrow{AB}= (-3;-1;2),\overrightarrow{CD} =(-2;4;0)$
$\Rightarrow (P)$ có VTPT $\overrightarrow{n}= ( -8; -4; -14)$ hay $\overrightarrow{n}=(4;2;7)$
$\Rightarrow (P) :4(x- 1)+ 2(y- 2) +7(z -1)= 0\Leftrightarrow 4x+ 2y +7z -15= 0$
Trường hợp $2: (P) $ qua $I(1;1;1)$ là trung điểm $CD$
Ta có $\overrightarrow{AB}= ( 3; 1;2), \overrightarrow{AI}= (0; 1;0)$
$\Rightarrow (P)$ có VTPT $\overrightarrow{n}= ( 2;0;3)$
$(P) :2(x -1) +3(z-1)= 0\Leftrightarrow 2x +3z- 5= 0$
D. CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI
$1.$ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho $2$ đường thẳng $(d_1)$ và $(d_2 )$ có phương trình:
$(d_1) : \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{1}, (d_2) : \frac{x-4}{6}=\frac{y-1}{9}=\frac{z-3}{3}$.
Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $(d_1 )$ và $(d_2 )$.
$2.$ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y - 4 = 0$ và
mặt
phẳng $(P): x + z - 3 = 0 $. Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua
điểm $M(3;1;-1)$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và tiếp xúc với mặt cầu
$(S).$
$3.$ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm
$A(1;2;3) , B(0;-1;2) ,C(1;1;1) $. Viết phương trình mặt phẳng $ (P) $
đi qua $A$ và gốc tọa độ $O$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ bằng
khoảng cách từ $C$ đến $(P)$ .
$4.$ Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : 5x - 2y + 5z -1 = 0$ và $(Q) : x - 4y -
8z +12 = 0 $. Lập phương trình mặt phẳng $(R)$ đi qua điểm $M$ trùng với
gốc tọa độ $O$, vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và tạo với mặt phẳng
$(Q)$ một góc $45^\circ.$