A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R:
S(I;R):(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(1)
Trong
không gian Oxyz phương trình x2+y2+z2+2Ax+2By+2Cz+D=0 là phương
trình mặt cầu khi: A2+B2+C2−D>0 . Khi đó mặt cầu có:
Tâm I(−A;−B;−C).
Bán kính R=√A2+B2+C2−D .
2. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu (S):(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2 và mặt phẳng (P):Ax+By+Cz+D=0 .
Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P)
d=d(I;(P))=|Aa+Bb+Cc+D|√A2+B2+C2 . Khi đó, nếu:
• d>R : mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) không có điểm chung.
• d=R : mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại H.
- Điểm H được gọi là tiếp điểm.
- Mặt phẳng (P) được gọi là tiếp diện.
• d<R : mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;−2;3) . Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy.
Lời giải :
Gọi M là hình chiếu của I(1;−2;3) lên Oy, ta có: M(0;−2;0).
→IM=(−1;0;−3)⇒R=IM=√10 là bán kính mặt cầu cần tìm.
Kết luận: PT mặt cầu cần tìm là (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=10.
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
d:x+52=y−7−1=z1 và điểm M(4;1;6) . Đường
thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A,B sao cho
AB=6 .
Viết phương trình của mặt cầu (S).
Lời giải :
d đi qua N(−5;7;0) và có VTCP →u=(2;−1;1);→MN=(−9;6;−6)
Gọi
H là chân đường vuông góc vẽ từ Mđến đường thẳng d⇒MH=d(M,d)=|[→MN,→u]||→u|=√3.
Bán kính mặt cầu (S):
R2=MH2+(AB2)2=12
⇒ PT mặt cầu (S):(x−4)2+(y−1)2+(z−6)2=12.
Bài tập áp dụng
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x−11=y+21=z1
và mặt phẳng (P): 2x + y –2z + 2 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S)
có tâm nằm trên d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và đi qua điểm A(2;
–1; 0).
Hướng dẫn :
Gọi I là tâm của (S) \Rightarrow I(1+ t;t –2;t). Ta có d(I, (P)) = AI \Leftrightarrow t=1; t=\frac{7}{13}.
Vậy: (S) : (x –2)^2 + (y +1)^2 + (z –1)^2 = 1
Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định các hệ số của phương trình.
Ví dụ 1.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;1), B(0;1;4),
C(–1;–3;1). Lập phương trình của mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có
tâm nằm trên mặt phẳng (P): x + y – 2z +4 = 0.
Lời giải :
PT mặt cầu (S) có dạng: x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
(S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = 0
(S) qua B: 2b + 8c – d – 17 = 0
(S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = 0
Tâm I \in (P): a + b – 2c + 4 = 0
Giải ra ta được: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3.
Vậy (S): x^2 + y^2 + z^2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0
Ví dụ 2. Trong không gian với
hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC
vuông tại A, đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, B(1; 2; 0) và tam giác
ABC có diện tích bằng 5. Gọi M là trung điểm của CC’. Biết rằng
điểm A'(0; 0; 2) và điểm C có tung độ dương. Viết phương trình mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện AB'C'M.
Lời giải :
Ta có: AB = \sqrt 5 và S_{ABC}= 5 nên AC = 2 \sqrt 5 .
Vì AA' \perp (ABC) và A, B \in (Oxy) nên C \in (Oxy).
Gọi C(x; y;0) . \overrightarrow{AB} = (1;2;0), \overrightarrow{AC} = (x; y;0)
Ta có:
\begin{cases}
AB \perp AC \\ AC = 2 \sqrt 5 \end{cases}\Leftrightarrow
\begin{cases}x+2y=0 \\ x^2+y^2=20 \end{cases}\Leftrightarrow \left[
\begin{matrix} \begin{cases}x=-4 \\ y=2 \end{cases}\\ \begin{cases}x=4
\\ y=-2 \end{cases} \end{matrix}\right.. Vì y_C > 0 nên C(–4; 2;
0)
Do \overrightarrow{CC'}= \overrightarrow{AA'} \Rightarrow
C'=(–4; 2; 2), \overrightarrow{BB'}= \overrightarrow{AA'}\Rightarrow
B'=(1; 2; 2) và M là trung điểm CC' nên M(–4; 2; 1).
PT mặt cầu (S) đi qua A, B’, C’ và M có dạng: (S) : x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
\begin{cases}A(0;0;0)
\in (S) \\B'(1;2;2) \in (S) \\C'(-4;2;2) \in (S) \\M(-4;2;1) \in (S)
\end{cases}\Leftrightarrow
a=\frac{3}{2};b=-\frac{3}{2};c=-\frac{3}{2};d=0
(thoả mãn a^2 + b^2 + c^2 - d > 0 )
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: (S) : x^2 + y^2 + z^2 + 3x - 3y - 3z = 0 .
Bài tập áp dụng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 0), B(1; 1; 3), C(2;–1; 3), D(1;–1; 0). Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Hướng dẫn :
Ta
tính được AB = CD = \sqrt{10}, AC = BD = \sqrt{13}, AD = BC = \sqrt{5}
. Vậy tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau. Từ đó
ABCD là một tứ diện gần đều. Do đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp của tứ
diện là trọng tâm G của tứ diện này.
Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD có tâm là G\left (\frac{3}{2};0;\frac{3}{2} \right ) , bán
kính là R =GA =\frac{\sqrt{14}}{2}
Cách khác: Ta có thể xác định toạ độ tâm I của mặt cầu thoả điều kiện: IA = IB = IC = ID
|