A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
$1$. Phương trình mặt cầu tâm $I(a; b; c),$ bán kính $R$:
$S(I; R) :(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2 (1) $
Trong
không gian Oxyz phương trình $x^2+y^2+z^2+2Ax+2By+2Cz+D=0$ là phương
trình mặt cầu khi: $A^2+B^2+C^2-D>0$ . Khi đó mặt cầu có:
Tâm $I(-A;-B;-C) $.
Bán kính $R=\sqrt{A^2+B^2+C^2-D}$ .
$2.$ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu $(S): (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ và mặt phẳng $(P): Ax+By+Cz+D=0$ .
Tính khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$
d=d$(I;(P))=\frac{\left| {Aa+Bb+Cc+D} \right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ . Khi đó, nếu:
• $d>R$ : mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$ không có điểm chung.
• $d=R$ : mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc mặt cầu $(S)$ tại $H.$
- Điểm $H$ được gọi là tiếp điểm.
- Mặt phẳng $(P)$ được gọi là tiếp diện.
• $d<R$ : mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng $1$: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính
Ví dụ $1.$ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $I(1;-2;3)$ . Viết phương trình mặt cầu tâm $I$ và tiếp xúc với trục Oy.
Lời giải :
Gọi $M$ là hình chiếu của $I(1;-2;3)$ lên Oy, ta có: $M(0;-2;0) $.
$\overrightarrow{IM} = (-1;0;-3)\Rightarrow R = IM = \sqrt {10} $ là bán kính mặt cầu cần tìm.
Kết luận: PT mặt cầu cần tìm là $(x -1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 10$.
Ví dụ $2.$ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
$d
: \frac{x+5}{2}=\frac{y-7}{-1}=\frac{z}{1} $ và điểm $M(4;1;6)$ . Đường
thẳng $d$ cắt mặt cầu $(S)$, có tâm $M$, tại hai điểm $A, B$ sao cho
$AB = 6$ .
Viết phương trình của mặt cầu $(S)$.
Lời giải :
$d$ đi qua $N(-5;7;0)$ và có VTCP $\overrightarrow{u} = (2;-1;1) ; \overrightarrow{MN} = (-9;6;-6)$
Gọi
$H$ là chân đường vuông góc vẽ từ $M$đến đường thẳng $d \Rightarrow MH
= $d$(M,d) =\frac{\left| {[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{u}]} \right|}{|\overrightarrow{u}|}= \sqrt 3$.
Bán kính mặt cầu $(S):$
$R^2 =MH^2+ \left ( \frac{AB}{2} \right )^2=12$
$\Rightarrow $ PT mặt cầu $(S): (x - 4)^2 + (y -1)^2 + (z - 6)^2 = 12.$
Bài tập áp dụng
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{1} $
và mặt phẳng $(P): 2x + y –2z + 2 = 0$ . Lập phương trình mặt cầu $(S)$
có tâm nằm trên $d$, tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ và đi qua điểm $A(2;
–1; 0).$
Hướng dẫn :
Gọi $I$ là tâm của $(S) \Rightarrow I(1+ t;t –2;t)$. Ta có d$(I, (P)) = AI \Leftrightarrow t=1; t=\frac{7}{13}$.
Vậy: $(S) : (x –2)^2 + (y +1)^2 + (z –1)^2 = 1$
Dạng $2$: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định các hệ số của phương trình.
Ví dụ $1.$
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $3$ điểm $A(3;1;1), B(0;1;4),
C(–1;–3;1)$. Lập phương trình của mặt cầu $(S)$ đi qua $A, B, C$ và có
tâm nằm trên mặt phẳng $(P): x + y – 2z +4 = 0.$
Lời giải :
PT mặt cầu $(S)$ có dạng: $x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$
$(S)$ qua $A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = 0$
$(S)$ qua $B: 2b + 8c – d – 17 = 0$
$(S)$ qua $C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = 0$
Tâm $I \in (P): a + b – 2c + 4 = 0$
Giải ra ta được: $a = 1, b = –1, c = 2, d = –3$.
Vậy $(S): x^2 + y^2 + z^2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0$
Ví dụ $2.$ Trong không gian với
hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’ $ có tam giác $ABC$
vuông tại $A,$ đỉnh $A$ trùng với gốc tọa độ $O, B(1; 2; 0)$ và tam giác
$ABC$ có diện tích bằng $5.$ Gọi $M$ là trung điểm của $CC’$. Biết rằng
điểm $A'(0; 0; 2)$ và điểm $C$ có tung độ dương. Viết phương trình mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện $AB'C'M.$
Lời giải :
Ta có: $AB = \sqrt 5$ và $S_{ABC}= 5$ nên $AC = 2 \sqrt 5 .$
Vì $AA' \perp (ABC)$ và $A, B \in (Oxy)$ nên $C \in (Oxy).$
Gọi $C(x; y;0) . \overrightarrow{AB} = (1;2;0), \overrightarrow{AC} = (x; y;0)$
Ta có:
$\begin{cases}
AB \perp AC \\ AC = 2 \sqrt 5 \end{cases}\Leftrightarrow
\begin{cases}x+2y=0 \\ x^2+y^2=20 \end{cases}\Leftrightarrow \left[
\begin{matrix} \begin{cases}x=-4 \\ y=2 \end{cases}\\ \begin{cases}x=4
\\ y=-2 \end{cases} \end{matrix}\right.$. Vì $y_C > 0$ nên $C(–4; 2;
0)$
Do $\overrightarrow{CC'}= \overrightarrow{AA'}
\Rightarrow
C'=(–4; 2; 2), \overrightarrow{BB'}= \overrightarrow{AA'}\Rightarrow
B'=(1; 2; 2)$ và $M$ là trung điểm $CC'$ nên $M(–4; 2; 1).$
PT mặt cầu $(S)$ đi qua $A, B’, C’$ và $M$ có dạng: $(S) : x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$
$\begin{cases}A(0;0;0)
\in (S) \\B'(1;2;2) \in (S) \\C'(-4;2;2) \in (S) \\M(-4;2;1) \in (S)
\end{cases}\Leftrightarrow
a=\frac{3}{2};b=-\frac{3}{2};c=-\frac{3}{2};d=0$
(thoả mãn $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$ )
Vậy phương trình mặt cầu $(S)$ là: $(S) : x^2 + y^2 + z^2 + 3x - 3y - 3z = 0 .$
Bài tập áp dụng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện $ABCD$ với $A(2; 1; 0), B(1; 1; 3),
C(2;–1; 3), D(1;–1; 0)$. Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD.$
Hướng dẫn :
Ta
tính được $AB = CD = \sqrt{10}, AC = BD = \sqrt{13}, AD = BC = \sqrt{5}
$. Vậy tứ diện $ABCD$ có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau. Từ đó
$ABCD$ là một tứ diện gần đều. Do đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp của tứ
diện là trọng tâm $G$ của tứ diện này.
Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
$ABCD$ có tâm là $G\left (\frac{3}{2};0;\frac{3}{2} \right ) $, bán
kính là $R =GA =\frac{\sqrt{14}}{2}$
Cách khác: Ta có thể xác định toạ độ tâm $I$ của mặt cầu thoả điều kiện: $IA = IB = IC = ID$
|