VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Question

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

$1.$ Phương trình tham số và phương trình chính tắc.
Đường thẳng

$d$ đi qua

$M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ có :
- Phương trình tham số của

$d: \begin{cases}x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\z=z_0+ct\end{cases} (t \in \mathbb{R})$
- Phương trình chính tắc của

$d:\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c} (abc \ne 0)$

$2.$ Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Đường thẳng

$d$ đi qua

$M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ và đường thẳng

$d'$ đi qua

$M'_0(x'_0;y'_0;z'_0)$ và có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow{u'}=(a';b';c')$ . Khi đó:
+

$d$ và

$d'$ cùng nằm trong một mặt phẳng

$\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right].\overrightarrow{M_0M'_0}=0$ .
+

$d$ và

$d'$ cắt nhau

$\Leftrightarrow\begin{cases}\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right].\overrightarrow{M_0M'_0}=0\\ \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right] \ne\overrightarrow{0} \end{cases}$ .
+

$d \parallel d' \Leftrightarrow\begin{cases}\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right]=\overrightarrow{0}\\ \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{M_0M'_0}} \right] \ne\overrightarrow{0} \end{cases}$ .
+

$d \equiv d' \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right]=\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{M_0M'_0}} \right]=\overrightarrow{0}$
+

$d$ và

$d’$ chéo nhau

$\Leftrightarrow\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right]\overrightarrow{M_0M'_0}=\overrightarrow{0}$

$3.$ Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng.
Đường thẳng

$d$ đi qua

$M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ và mặt phẳng

$(P) : Ax+By+Cz+D=0$ có vectơ pháp tuyến

$\overrightarrow{n}=(A;B;C)$ . Khi đó:
+

$d$ cắt

$(P)\Leftrightarrow Aa+Bb+Cc \ne 0$
+

$d \parallel (P)\Leftrightarrow \begin{cases}Aa+Bb+Cc = 0 \\ Ax_0+by_0+Cz_0+D \ne 0 \end{cases}$
+

$d \subset (P)\Leftrightarrow \begin{cases}Aa+Bb+Cc = 0 \\ Ax_0+by_0+Cz_0+D = 0 \end{cases}$
+

$d \perp (P) \Leftrightarrow \overrightarrow{u} \parallel \overrightarrow{n} \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}} \right]=\overrightarrow{0}$

$4.$ Góc giữa hai đường thẳng.
Cho đường thẳng

$d$ có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ và đường thẳng

$d'$ có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow{u'}=(a';b';c')$ . Gọi

$0^\circ \le\phi \le 90^\circ$ là góc giữa hai đường thẳng đó ta có:

$\cos \phi = \frac{\left| {\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u'}} \right|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{u'}|}=\frac{|aa'+bb'+cc'|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}}$

$5.$ Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng.
Cho đường thẳng

$d$ có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ và mặt phẳng

$(P)$ có vectơ pháp tuyến

$\overrightarrow{n}=(A;B;C)$ . Gọi

$0^\circ \le \psi \le 90^\circ$ là góc hợp bởi đường thẳng

$d$ và mặt phẳng

$(P)$ ta có:

$\sin \psi = \frac{\left| {\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}} \right|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{n}|}=\frac{|Aa+Bb+Cc|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

$6.$ Khoảng cách từ điểm

$M_1(x_1;y_1;z_1)$ đến đường thẳng

$\Delta$ có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow{u}$ :
+ Cách $1:$
- Viết phương trình mặt phẳng

$(Q)$ qua

$M_1$ và vuông góc với

$\Delta$ .
- Tìm tọa độ giao điểm

$H$ của

$\Delta$ và mặt phẳng

$(Q)$ .
- d

$(M_1, \Delta)=M_1H$ .
+ Cách $2:$ Sử dụng công thức: d

$(M_1, \Delta)=\frac{\left| {\left[ {\overrightarrow{M_1M_0},\overrightarrow{u}} \right]} \right|}{|\overrightarrow{u}|}$

$7.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Cho hai đường thẳng chéo nhau

$\Delta$ đi qua

$M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow{u}$ và đường thẳng

$\Delta'$ đi qua

$M'_0(x'_0;y'_0;z'_0)$ và có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow{u'}$ .
+ Cách $1:$
- Viết phương trình mặt phẳng

$(Q)$ chứa

$\Delta$ và song song với

$\Delta'$ .
- Tính khoảng cách từ

$M'_0$ tới mặt phẳng

$(Q)$ .
- d

$(\Delta,\Delta')=$ d

$(M'_0,(Q))$ .
+ Cách $2:$ Sử dụng công thức: d

$(\Delta,\Delta')=\frac{\left| {\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right].\overrightarrow{M_0M'_0}} \right|}{\left| {\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right]} \right|}$ .

B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng I: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương
Ví dụ $1.$ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

$d :\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{3}$ và mặt phẳng

$P : x - y - z -1 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng

$\Delta$ đi qua

$A(1;1;-2)$ , song song với mặt phẳng

$(P)$ và vuông góc với đường thẳng

$d .$
Lời giải :
Để tìm một VTCP của

$\Delta$ ta phải tìm hai VTPT không cùng phương của nó rồi tìm tích có hướng của hai vectơ này.
Như vậy,

$\overrightarrow{u_{\Delta}}=\left[ {\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{P}}}\right]=(2;5;-3)$
Trong đó

$\overrightarrow{u_{d}}=(2;1;3);\overrightarrow{n_{P}}=(1;-1;-1)$

$\Delta$ đi qua

$A(1;1;-2)$ và có VTCP

$\overrightarrow{u_{\Delta}}=(2;5;-3)$ nên có phương trình

$\Delta : \frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+2}{-3}$
Ví dụ $2.$ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

$\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng

$P : x - y - z -1 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng

$d$ đi qua

$M(2;1;0)$ , cắt và vuông góc với

$\Delta$ .
Lời giải :

$\overrightarrow{u_{\Delta}}=(2;1; -1)$ . Gọi

$H = d \cap \Delta$ .
Do

$H \in \Delta$ nên có thể giả sử

$H(1+ 2t;-1+ t;-t) \Rightarrow \overrightarrow{MH} = (2t -1;t - 2;-t)$ .

$\overrightarrow{MH} \perp \overrightarrow{u_{\Delta}} \Leftrightarrow 2(2t -1) + ( t- 2) - (-t ) = 0 \Leftrightarrow t=\frac{2}{3} \Leftrightarrow \overrightarrow{u_{d}} = 3\overrightarrow{MH} = (1;-4;-2)$

$\Rightarrow d : \begin{cases}x=2+t \\ y= 1-4t\\z=-2t\end{cases}$
Bài tập tương tự
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

$(d)$ có phương trình:

$\begin{cases}x = -t \\ y = -1+ 2t \\ z = 2 + t \end{cases} ( t \in \mathbb{R} )$ và mặt phẳng

$(P): 2x - y - 2z - 3 = 0$ .Viết phương trình tham số của đường thẳng

$\Delta$ nằm trên

$(P)$ , cắt và vuông góc với

$(d).$
Đáp số :

$\Delta: \begin{cases}x = 1+t \\ y =-3\\ z =1 + t \end{cases} ( t \in \mathbb{R} )$ .

Dạng II: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác.
Ví dụ $1.$ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

$d : \frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-2}{2}$
và mặt phẳng

$(P): x + 3y + 2z + 2 = 0$ . Lập phương trình đường thẳng

$\Delta$ song song với mặt phẳng

$(P),$ đi qua

$M(2; 2; 4)$ và cắt đường thẳng

$(d).$
Lời giải :
Đường thẳng

$(d)$ có PT tham số :

$\begin{cases}x=-1+3t \\ y=2-2t\\z=2+2t \end{cases}$ .
Mặt phẳng

$(P)$ có VTPT

$\overrightarrow{n} = (1; 3; 2)$
Giả sử

$N(-1 + 3t ; 2 - 2t ; 2 + 2t) \in d \Rightarrow \overrightarrow{MN}= (3t - 3;-2t;2t - 2)$
Để

$MN \parallel (P)$ thì

$\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n} = 0 \Leftrightarrow 1.(-1+3t)+3.(2-2t)+2.(2+2t)=0\Leftrightarrow t = 7 \Rightarrow \overrightarrow{MN}= (18;-14;12)$
Do

$\Delta \parallel MN$ nên chọn

$\overrightarrow{u_{\Delta}}= (9;-7;6)$
Phương trình đường thẳng

$\Delta : \frac{x-2}{9}=\frac{y-2}{-7}=\frac{z-4}{6}$
Câu hỏi tương tự:

$d : \frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{1}, (P) : x + 3y + 2z + 2 = 0 , M(2;2;4).$ Đáp số :

$\Delta : \frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-3}{1}$

Dạng III: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác.
Ví dụ $1.$ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng

$d$ đi qua điểm

$M(-4;-5;3)$ và cắt cả hai đường thẳng:

$d_1 : \begin{cases}2x+3y+11=0 \\ y-2z+7=0 \end{cases}$ và

$d_2 : \frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{-5}$
Lời giải :
Viết lại phương trình các đường thẳng:

$d_1: \begin{cases}x=5-3t_1 \\ y=-7+2t_1 \\z=t_1\end{cases} (t_1 \in \mathbb{R}) , d_2: \begin{cases}x=2+2t_2 \\ y=-1+3t_2 \\z=1-5t_2\end{cases} (t_2 \in \mathbb{R})$
Gọi

$A = d \cap d_1,B = d \cap d_2 \Rightarrow A(5 - 3t_1;-7 + 2t_1;t_1) , B(2 + 2t_2;-1+ 3t_2;1- 5t_2).$

$\overrightarrow{MA} = (-3t_1 + 9;2t_1 - 2;t_1 - 3), \overrightarrow{MB} = (2t_2 + 6;3t_2 + 4;-5t_2 - 2)$

$\left[ {\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}} \right] = (-13t_1t_2 - 8t_1 +13t_2 +16;-13t_1t_2 + 39t_2;-13t_1t_2 - 24t_1 + 31t_2 + 48)$

$M, A, B$ thẳng hàng

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}} \right] =\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow A(-1;-3;2),B(2;-1;1) \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (3;2;-1)$
Đường thẳng

$d$ qua

$M(–4; –5; 3)$ và có VTCP

$\overrightarrow{AB} = (3;2;-1)$

$\Rightarrow d: \begin{cases}x=-4-3t \\ y=-5+2t \\z=3-t\end{cases} (t \in \mathbb{R})$
Câu hỏi tương tự:

$M(3;10;1)$ ,

$d_1 : \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+3}{2}$ và

$d_2 : \frac{x-3}{1}=\frac{y-7}{-2}=\frac{z-1}{-1}$
Đáp số :

$d: \begin{cases}x=3+2t \\ y=10-10t \\z=1-2t\end{cases} (t \in \mathbb{R})$

Dạng IV: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách.
Ví dụ $1.$ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

$(d): \begin{cases}x=2+4t \\ y=3+2t \\z=-3+t\end{cases}$ và mặt phẳng

$(P): -x + y + 2z + 5 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng

$(\Delta)$ nằm trong

$(P),$ song song với

$(d)$ và cách

$(d)$ một khoảng là

$\sqrt{14}$ .
Lời giải :
Chọn

$A(2;3; -3), B(6;5; -2) \in (d),$ mà thấy rằng

$A, B \in (P)$ nên

$(d) \subset (P) .$
Gọi

$\overrightarrow{u}$ là VTCP của

$( d_1) \subset (P)$ , qua

$A$ và vuông góc với

$(d)$ thì

$\begin{cases}\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{u_d} \\ \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{u_P} \end{cases}$
nên ta chọn

$\overrightarrow{u} = [\overrightarrow{u_d} ,\overrightarrow{u_P} ] = (3;-9;6)$ .
Phương trình của đường thẳng

$( d_1) : \begin{cases}x=2+3t \\ y=3-9t \\z=-3+6t\end{cases}$
Lấy

$M(2+3t; 3 -9t; -3+6t) \in ( d_1)$ .

$(\Delta)$ là đường thẳng qua

$M$ và song song với

$(d).$
Theo đề :

$AM=\sqrt{14}\Leftrightarrow \sqrt{9t^2+81t^2+36t^2}=\sqrt{14}\Leftrightarrow 9t^2=1\Leftrightarrow t=\pm \frac{1}{3}$
Với

$t= \frac{1}{3}\Rightarrow M(1;6;-5)\Rightarrow (\Delta) :\frac{x-1}{4}=\frac{y-6}{2}=\frac{z+5}{1}$
Với

$t= -\frac{1}{3}\Rightarrow M(3;0;-1)\Rightarrow (\Delta) :\frac{x-3}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}$
Ví dụ $2.$ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

$(d): \begin{cases}x=2+t \\ y=1-t \\z=1-3t\end{cases}$ và mặt phẳng

$(P): x + y -z + 1= 0$ . Gọi

$I$ là giao điểm của

$d$ và

$(P).$ Viết phương trình của đường thẳng

$\Delta$ nằm trong

$(P)$ , vuông góc với

$d$ sao cho khoảng cách từ

$I$ đến

$\Delta$ bằng

$3 \sqrt 2$ .
Lời giải :

$(P)$ có VTPT

$\overrightarrow{n_P}= (1;1;-1)$ và

$d$ có VTCP

$\overrightarrow{u}= (1;-1;-3) .$

$I = d \cap (P)\Rightarrow I(x=2+t ; y=1-t ;z=1-3t) \in (P) \Rightarrow I(1;2;4)$
Vì

$\Delta \subset (P); \Delta \perp d \Rightarrow \Delta$ có véc tơ chỉ phương

$\overrightarrow{u_{\Delta}}=[\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{u}]=(-4;2;-2)$
Gọi

$H$ là hình chiếu của

$I$ trên

$\Delta \Rightarrow H \in mp(Q)$ qua

$I$ và vuông góc

$\Delta$

$\Rightarrow$ Phương trình

$(Q): -4(x -1) + 2(y - 2) -2(z - 4) = 0\Leftrightarrow -2x + y - z + 4 = 0$
Gọi

$d_1 = (P) \cap (Q)\Rightarrow d_1$ có VTCP

$\overrightarrow{u_{d_1}}=[\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{n_Q}] = (0;3;3) = 3(0;1;1)$ và

$d_1$ qua

$I\Rightarrow d_1 : \begin{cases}x=1 \\ y=2+t \\z=4+t\end{cases}$
Giả sử

$H \in d_1 \Rightarrow H(1;2 + t;4 + t) \Rightarrow\overrightarrow{IH} = (0;t;t)$
Ta có:

$IH=3\sqrt 2 \Leftrightarrow \sqrt{2t^2}=3\sqrt 2\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} t=3\\t=-3 \end{matrix}} \right.$
Với

$t=3\Rightarrow H(1;5;7)\Rightarrow (\Delta) :\frac{x-1}{-2}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-7}{-1}$
Với

$t= -3\Rightarrow M(1;-1;1)\Rightarrow (\Delta) :\frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{-1}$
Câu hỏi tương tự:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng