1. Mệnh đề là gì?
ĐỊNH NGHĨA
Một mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai. Một câu khẳng định đúng gọi là một mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
2. Mệnh đề phủ định
Ví dụ 2: Hai bạn An và Bình đang tranh luận với nhau
Bình nói: “2003 là số nguyên tố”
An khẳng định: “2003 không phải là số nguyên tố”
Nếu ký hiệu P là mệnh đề Bình nêu thì mệnh đề của An có thể diễn đạt là “Không phải P” và được gọi là mệnh đề phủ định của P.
ĐỊNH NGHĨA
Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và ký hiệu là $\overline P $ . Mệnh đề P và mệnh đề phủ định $\overline P$ là hai câu khẳng định trái ngược nhau. Nếu P đúng thì$\overline P $ sai, nếu P sai thì$\overline P $ đúng.
3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo
a, Mệnh đề kéo theo
Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “ nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và ký hiệu là $P \Rightarrow Q$. Mệnh đề $P \Rightarrow Q$sai khi P đúng, Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại.
Ta thường gặp các tình huống sau:
- Cả hai mệnh đề P và Q đều đúng. Khi đó $P \Rightarrow Q$là mệnh đề đúng
- Mệnh đề P đúng và mệnh đề Q sai . Khi đó $P \Rightarrow Q$là mệnh đề sai
VD: Mệnh đề “Vì 50 chia hết cho 10 nên 50 chia hết cho 5” là mệnh đề đúng. Mệnh đề “Vì 2002 là số chẵn nên 2002 chia hết cho 4” là mệnh đề sai
b, Mệnh đề đảo
Cho mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$. Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$.
VD5: Cho tam giác ABC. Mệnh đề đảo của mệnh đề “ Nếu tam giác ABC là tam giác đều thì nó là tam giác cân” là mệnh đề “Nếu tam giác ABC là tam giác cân thì nó là tam giác đều”.
4. Mệnh đề tương đương
Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và ký hiệu là $P \Leftrightarrow Q$
Mệnh đề$P \Leftrightarrow Q$đúng khi cả hai mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$và $Q \Rightarrow P$đều đúng và sai trong các trường hợp còn lại
Đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề$P \Leftrightarrow Q$là “P khi và chỉ khi Q”
Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$đúng nếu cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng hoặc cùng sai. Khi đó, ta nói rằng hai mệnh đề P và Q tương đương với nhau.
5. Khái niệm mệnh đề chứa biến
VD: Xét các câu sau đây:
(1) “n chia hết cho 3”, (với n là số tự nhiên)
(2) “y>x+3”, (với x và y là 2 số thực)
Mỗi câu trên đều là 1 câu khẳng định chứa 1 hay nhiều biến nhận giá trị trong 1 tập hợp X nào đó. Tính đúng – sai của chúng tùy thuộc vào giá trị cụ thể của các biến đó. Nếu cho các biến những giá trị cụ thể trong tập X thì ta được những mệnh đề. Chẳng hạn, nếu ký hiệu câu (1) là P(n) thì P(6) là “6 chia hết cho 3” là 1 mệnh đề đúng; nếu ký hiệu câu (2) là Q(x;y) thì Q(1;2) là “2>1+3”, đó là mệnh đề sai
Các câu kiểu như câu (1) và câu (2) là những mệnh đề chứa biến
6. Các ký hiệu $\forall$ và $\exists $
a) Kí hiệu $\forall $
Cho mệnh đề chứa biến P(x) với $x \in X$. Khi đó khẳng định:
“Với mọi x thuộc X, P(x) đúng” (hay “P(x) đúng với mọi x thuộc X”) (1) là 1 mệnh đề. Mệnh đề này đúng nếu với ${x_0}$ bất kỳ thuộc X, $P({x_0})$ là mệnh đề đúng. Mệnh đề này sai nếu có ${x_0} \in X$ sao cho $P({x_0})$ là mệnh đề sai
Mệnh đề (1) được ký hiệu là:$\forall x \in X,P(x)$
hoặc $\forall x \in X:P(x)$
Ký hiệu $\forall $ đọc là “với mọi”
b) Kí hiệu $\exists $
Cho mệnh đề chứa biến P(x) với $x \in X$. Khi đó khẳng định:
“Tồn tại x thuộc X để P(x) đúng”
Là 1 mệnh đề. Mệnh đề này đúng nếu có ${x_0} \in X$ để $P({x_0})$ là mệnh đề đúng. Mệnh đề này sai nếu với ${x_0}$ bất kỳ thuộc X, $P({x_0})$ là mệnh đề sai
Mệnh đề 2 được kí hiệu là:$\exists x \in X,P(x)$
hoặc $\exists x \in X:P(x)$
Kí hiệu $\exists $ đọc là “tồn tại”
7. Mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu $\forall $,$\exists $
-Cho mệnh đề chứa biến P(x) với $x \in X$. Mệnh đề phủ định của mệnh đề $\exists x \in X:P(x)$ là $\exists x \in X:\overline {P(x)}$
-Cho mệnh đề chứa biến P(x) với $x \in X$. Mệnh đề phủ định của mệnh đề $\exists x \in X:P(x)$ là $\forall x \in X:\overline {P(x)}$
|