1. Định lý và chứng minh định lý
Trong toán học, định lý là một mệnh đề đúng. Nhiều định lý được phát biểu dưới dạng
$\forall x \in X,P\left( x \right) \Rightarrow Q\left( x \right),$ (1)
trong đó $P\left( x \right)$và $Q\left( x \right)$ là những mệnh đề chứa biến, X là một tập hợp nào đó.
Chứng minh định lý dạng (1) là suy luận và những kiến thức đã biết để khẳng định rằng mệnh đề (1) là đúng, tức là cần chứng tỏ rằng với mọi x thuộc X mà $P\left( x \right)$đúng thì $Q\left( x \right)$ đúng
Có thể chứng minh định lý dạng (1) một cách trực tiếp hoặc gián tiếp
Phép chứng minh trực tiếp gồm các bước sau
- Lấy x tùy ý thuộc X mà $P\left( x \right)$đúng
- Dùng suy luận và những kiến thức toán học đã biết để chỉ ra rằng$Q\left( x \right)$đúng
Phép chứng minh gián tiếp gồm các bước sau:
- Giả sử tồn tại ${x_0}$ thuộc X sao cho $P({x_0})\,$đúng và $Q({x_0})$ sai tức là mệnh đề (1) là mệnh đề sai
- Dùng suy luận và những kiến thức toán học đã biết để đi đến mâu thuẫn
2. Điều kiền cần, điều kiện đủ
Cho định lý dưới dạng $\forall x \in X,P\left( x \right) \Rightarrow Q\left( x \right),$ (1)
$P\left( x \right)$ được gọi là giả thiết và $Q\left( x \right)$là kết luận của định lý
Định lý dạng (1) còn được phát biểu
$P\left( x \right)$là điều kiện đủ để có$Q\left( x \right)$ hoặc $Q\left( x \right)$là điều kiện cần để có $P\left( x \right)$
3. Định lý đảo, điều kiện cần và đủ
Xét mệnh để đảo của định lý dạng (1)
$\forall x \in X,Q\left( x \right) \Rightarrow P\left( x \right),$ (2)
Mệnh đề (2) có thể đúng, có thể sai. Nếu mệnh đề (2) đúng thì nó được gọi là định lý đảo của định lý dạng (1). Lúc đó định lý dạng (1) sẽ được gọi là định lý thuận. Định lý thuận và đảo có thể viết gộp thành một định lý.
Khi đó ta nói:
$P\left( x \right)$ là điều kiện cần và đủ để có $Q\left( x \right)$
|