1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
ĐN: Ta nói rằng dãy số $({u_n})$có giới hạn 0 ( hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Khi đó ta viết
$\lim ({u_n}) = 0$ hoặc $\lim {u_n} = 0$ hoặc ${u_n} \to 0$.
Nhận xét: a) Dãy số $({u_n})$có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số $\left( {\left| {{u_n}} \right|} \right)$ có giới hạn 0.
Dãy số không đổi $({u_n})$với ${u_n}$=0 có giới hạn 0
2. Một số dãy số có giới hạn 0
Định lí 1: Cho hai dãy số $({u_n})$ và $({v_n})$.
Nếu $|u_{n} | \leqslant {v_n}$ với mọi $n$ và $\lim {v_n} = 0$thì $\lim {u_n} = 0$
Ví dụ: Chứng minh rằng
$\lim \frac{{\sin n}}{{\sqrt n }} = 0$
Giải: ta có $\left| {\frac{{\sin n}}{{\sqrt n }}} \right| \leqslant \frac{1}{{\sqrt n }}$ và $\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0$. Từ đó suy ra điểu phải chứng minh.
Định lí 2: Nếu $\left| q \right| < 1$ thì $\lim {q^n} = 0$
Ví dụ: $\lim \frac{1}{{{2^n}}} = \lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0$
|