1. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐUỜNG THẲNG
Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$. Khoảng cách từ điểm $M({x_M};{y_M})$ đến $\Delta $:
$d(M;\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_M} + b{y_M} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$
Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng
Cho đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$và điểm $M({x_M};{y_M})$. Nếu M’ là hình chiếu (vuông góc) của M trên $\Delta $, ta có
$\overrightarrow {M'M} = k\overrightarrow n $ trong đó $k = \frac{{{\text{a}}{{\text{x}}_M} + b{y_M} + c}}{{{a^2} + {b^2}}}$
Tương tự nếu có điểm $N({x_N};{y_N})$ với N’ là hình chiếu của N trên$\Delta $thì ta cũng có
$\overrightarrow {N'N} = k'\overrightarrow n $ trong đó $k = \frac{{{\text{a}}{{\text{x}}_N} + b{y_N} + c}}{{{a^2} + {b^2}}}$
Ta có kết quả sau:
Cho đường thẳng $\Delta $: ax + bx + c = 0 và điểm $M({x_M};{y_M})$, $N({x_N};{y_N})$không nằm trên $\Delta $. Khi đó
Hai điểm M, N nằm cùng phía đối với $\Delta $ khi và chỉ khi
${\text{(a}}{{\text{x}}_M} + b{y_M} + c)({\text{a}}{{\text{x}}_N} + b{y_N} + c) > 0$
Hai điểm M, N nằm khác phía đối với $\Delta $ khi và chỉ khi
${\text{(a}}{{\text{x}}_M} + b{y_M} + c)({\text{a}}{{\text{x}}_N} + b{y_N} + c) < 0$
VÍ DỤ
Cho tam giác ABC $A = \left( {\frac{7}{4};3} \right),\,\,B = (1;2),\,\,C = ( - 4;\,3)$
Viết phương trình đường phân giác trong của góc A
Giải : Dễ thấy các đường thẳng AB VÀ AC có phương trình
AB: 4x -3y + 2 = 0 và AC : y – 3 = 0
Các đường phân giác ngoài của góc A có phương trình
$\frac{{4x - 3y + 2}}{5} + \frac{{y - 3}}{1} = 0$ hoặc $\frac{{4x - 3y + 2}}{5} - \frac{{y - 3}}{1} = 0$
Hay : 4x +2y -13 =0 (đường phân giác ${d_1}$)
4x – 8y +17 =0 (đương phân giác ${d_2}$)
Do hai điểm B, C nằm cùng phía đối với đường phân giác ngoài và nằm khác phía đối với đường phân giác trong của góc A nên ta chỉ cần xét vị trí của B , C đối với một trong hai đường , chẳng hạn ${d_2}$. Thay toạ độ của B ,C lần lượt vào vế trái
của${d_2}$. Ta được
4 – 16 + 17 = 5 > 0 và -16 – 24 +17 = -23 < 0
tức là B,C nằm khác phía đối với ${d_2}$
Vậy phương trình đường phân giác trong của góc A là
${d_2}:4x - 8y + 17 = 0$
2. Góc giữa hai đường thẳng
ĐỊNH NGHĨA
Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b ,hay đơn giản là góc giữa a và b. khi a song song hoặc trùng với b , ta quy ước góc giữa chúng bằng ${0^0}$
CHÚ Ý
Góc giữa hai đường thẳng a và b được kí hiệu là $\angle (a,b)$ hay đơn giản là ( a, b ) góc này không vượt quá ${90^ \circ }$nên ta có
$(a,\,b) = (\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v )$ nếu $(\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v ) \leqslant {90^ \circ }$
$(a,\,b) = {180^0} - (\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v )$ nếu $(\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v ) > {90^ \circ }$
Trong đó$\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v $ lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b
|