Bài 105490

Question

Gọi

$(C)$ là đồ thị hàm số

$y = \frac{1}{x}$ , và

$(D)$ là đường thẳng có phương trình

$y = ax + b$ .
1)

$a, b$ phải thỏa mãn điều kiện gì để đường thẳng

$(D)$ tiếp xúc với

$(C)$ ?
2) Giả sử điều kiện trên được nghiệm đúng. Khi đó

$(D)$ cắt

$Ox$ và

$Oy$ tại

$M$ và

$N$ .
a) Chứng tỏ rằng tam giác

$OMN$ có diện tích không đổi.
b) Chứng tỏ rằng điểm giữa của đoạn

$MN$ là tiếp điểm của

$(D)$ với

$(C)$ .
c) Khi nào thì khoảng cách từ gốc tọa độ

$O$ đến

$(D)$ là lớn nhất

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 10:33:32 AM

$1)$ Hoành độ tiếp điểm của

$(D)$ với

$(C)$ là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} = {{ax}} + b{{ (1)}}\\ y' = - \frac{1}{{{x^2}}} = a{{ }}(2) \end{array} \right.$
Thế

$(2)$ vào

$(1)$ ta được:

$b - 2/x = 0 \Rightarrow bx - 2 = 0$ .
Để hệ

$(1), (2)$ có nghiệm, cần có

$b \ne 0 \Rightarrow x = 2/b$ .
Thế vào

$(2)$ ta có

$a = - {b^2}/4$
Đáp số:

$b \ne 0,{{ a}} = - {b^2}/4$

$2)$
a)

$(D)$ cắt

$Ox$ và

$Oy$ tại

$M$ và

$N$ , ta có

${y_M} = 0;{{ }}{{{x}}_M} = - b/a,{{ }}{{{x}}_N} = 0;{{ }}{{{y}}_N} = b$ , do đó

$dt(OMN) = (1/2)OM.ON = (1/2).\left| {{x_M}.{y_N}} \right| = (1/2)\left| {(4/b).b} \right| = 2$

b) Gọi

$I$ là trung điểm đoạn thẳng

$MN$ , hoành độ

${x_1}$ của

$I$ bằng

${x_1} = (1/2)({x_M} + {x_N}) = (1/2)(4/b + 0) = 2/b$ .
Áp dụng kết quả phần

$1)$ ta có

${x_1} = 2/b$ là hoành độ tiếp điểm.

c) Đường thẳng

$(D’)$ qua

$O$ và vuông góc với

$(D)$ có phương trình

$y = - {{ax}}$ .
Gọi

$({x_1},{y_1})$ là tọa độ giao điểm của

$(D’)$ và

$(D)$ ta có

$- {{a}}{{{x}}_1} = {{a}}{{{x}}_1} + b$

$\Rightarrow {x_1} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - b}}{{2.( - {b^2}/4)}} = \frac{2}{b}$

$\Rightarrow {y_1} = - {{a}}{{{x}}_1} = - a.\frac{2}{b} = \frac{{{b^2}}}{4}.\frac{2}{b} = \frac{b}{2}$ .
Vậy khoảng cách

$d$ từ

$O$ đến

$(D)$ bằng

$d = \sqrt {{{(2/b)}^2} + {{(b/2)}^2}} \ge \sqrt 2$

$\Rightarrow \max d = \sqrt 2$ đạt được khi

$2/b = b/2 \Leftrightarrow b = \pm 2 \Rightarrow a = - 1$

Bài 105490

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105490

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan