Cho đường tròn $(O;R)$, dây $BC$ cố định $(BC<2R)$. Điểm $A$ di chhu trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $ABC$ có $3$ góc nhọn. Kẻ các đường cao $BD$ và $CE$ cua rtam giác $ABC$, chúng cắt nhau tại $H$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét đường thẳng $(d_{m})$ xác định bởi phương trình :$ (m-1)x+(m+1)y = \sqrt{2(m^{2}+1)} $với $m$ là tham số. Tính kho cách từ điểm gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng  $(d_{m}).$

Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

Cho đương tròn tâm O và dây AB( AB không đi qua O).M là điểm trên đường tròn sao cho tam giác AMB nhọn là tam giác nhọn.Đường phân giác của góc MAB và MBA cắt đường tròn tâm O lần lượt tại P và Q.Gọi I là giao điểm của AP và PQ.

Cho đường tròn tâm $O$ nội tiếp  hình vuông $ABCD$.Tiếp tuyến trên $AB, BC, CD$ lần lượt là $M, N, P$. Vẽ gó́c $xOy=45$ độ, sao cho $Ox$ cắt cạnh $CD$ ở $F$.Chứng minh rằng:
$1.EF$ là một t tuyến của một đường tròn đã cho.
$2$.Các tam giác $DFO$ và $BOE$ đồng dạng.
$3.ME$ song song vs $AF$

So sánh M và N biết:

mn làm jùm cía

Cho đường tròn $(O; R)$ đường kính AB. Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường tròn $(O). MN$ là một đường kính thay đổi của đường tròn (M không trùng với $A, B$). Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại $C$ và $D$.
a) Chứng minh $AM.AC=AN.AD$.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tích $AC.AD.$
c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC thuộc một đường thẳng cố định.
d) Gọi I là giao điểm của CO và BM. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng d tại F. Chứng minh ba điểm $C, E, N$ thẳng hàng.

Cho a,b,c là các số dương.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: