3. Áp dụng tích phân từng phần
$\int\limits_{0}^{e}\ln x dx=x\ln x |_{0}^{e}-\int\limits_{0}^{e} x d(\ln x)=x\ln x |_{0}^{e}-\int\limits_{0}^{e} x. \dfrac{1}{x}dx$ 
$=x\ln x |_{0}^{e}-\int\limits_{0}^{e}dx=x\ln x |_{0}^{e}- x |_{0}^{e}=x\ln x |_{0}^{e}-e$ 
Ta có
$x\ln x |_{0}^{e}=e\ln e - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}x\ln x=e - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\dfrac{\ln x}{\dfrac{1}{x}}\underbrace{=}_{Lopitan}e - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\dfrac{(\ln x)'}{(\dfrac{1}{x})'} $
$=e - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^2}}=e - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}-x=e$ 
Vậy $\int\limits_{0}^{e}\ln x dx=e-e=0.$ 

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Đặt $t=x+4$ ta có PT 
$\Leftrightarrow (t-1)^4+(t+1)^4=2$ 
$\Leftrightarrow t^4-4t^3+6t^2-4t+1+t^4+4t^3+6t^2+4t+1=2$  
$\Leftrightarrow 2t^4+12t^2=0$  
$\Leftrightarrow t^2(t^2+6)=0$   
$\Leftrightarrow t=0$    
$\Leftrightarrow x=-4$      

Ta biết kết quả sau
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$ 
Và 
$2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=-\left ( \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} \right )^2+ \overrightarrow{OA}^2+\overrightarrow{OB}^2=-\left (\overrightarrow{BA} \right )^2+ \overrightarrow{OA}^2+\overrightarrow{OB}^2=-c^2+2R^2$
Với $G$ là trọng tâm của tam giác, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp..
Suy ra
      $\left ( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right )^2=\left ( 3\overrightarrow{OG}\right )^2$ 
$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}^2+\overrightarrow{OB}^2+\overrightarrow{OC}^2+2 \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}=9d^2$  
$\Leftrightarrow3R^2+\left (-c^2+2R^2 \right)+\left (-a^2+2R^2 \right)+\left (-b^2+2R^2 \right)=9d^2$  
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=9R^2-9d^2$ , đpcm.

Theo tính chất của tính vi phân, ta có $du=u'(x)dx$
Như vậy
$d(e^{-x^2})=(e^{-x^2})'dx=e^{-x^2}.(-2x)dx=-2xe^{-x^2}dx$ 
Như vậy
$\frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{a \to +\infty }\int\limits_{0}^{a}-x^{2}d(e^{-x^{2}})=\frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{a \to +\infty }\int\limits_{0}^{a}-x^{2}\left (-2xe^{-x^2}dx \right )=\frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{a \to +\infty }\int\limits_{0}^{a}2x^{3}e^{-x^{2}}dx=$
$=\mathop {\lim }\limits_{a \to +\infty }\int\limits_{0}^{a}x^{3}e^{-x^{2}}dx$