Tích phân xác định thì có kết quả là một số, nó khác với nguyên hàm là kết quả là một hàm số.
Vì thế khi thay đổi biến số thì giá trị tích phân không thay đổi. Tức là
$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx = \int\limits_{a}^{b}f(t)dt =\int\limits_{a}^{b}f(u)du =\ldots$
Chẳng hạn
$\int\limits_{0}^{1}(x^2+1)dx =\left[ {\dfrac{1}{3}x^3+x} \right]_{0}^{1}=\dfrac{4}{3}$
$\int\limits_{0}^{1}(t^2+1)dt =\left[ {\dfrac{1}{3}t^3+t} \right]_{0}^{1}=\dfrac{4}{3}$
 $\int\limits_{0}^{1}(u^2+1)du =\left[ {\dfrac{1}{3}u^3+u} \right]_{0}^{1}=\dfrac{4}{3}$
$\ldots$
 Từ đây lý giải được biểu thức đó.

Điều kiện $x \ne 2.$
+ Xét $x>2\Rightarrow x-2 >0$.
PT $\Leftrightarrow mx-m-4<0\Leftrightarrow mx <m+4$
Nếu $m>0$. PT $\Leftrightarrow x < 1+\dfrac{4}{m}$, và ta cần điều kiện $x>2$ nên $m<4$
Nếu $m<0$. PT $\Leftrightarrow x > 1+\dfrac{4}{m}$. Trong trường hợp này hiển nhiên có $2> 1+\dfrac{4}{m}$.
Nếu $m=0$, thì $x>2$ hiển nhiên là nghiệm.

+ Xét $x<2\Rightarrow x-2 <0$.
PT $\Leftrightarrow mx-m-4>0\Leftrightarrow mx >m+4$
Nếu $m>0$. PT $\Leftrightarrow x > 1+\dfrac{4}{m}$, và ta cần điều kiện $x<2$ nên $m>4$.
Nếu $m<0$. PT $\Leftrightarrow x < 1+\dfrac{4}{m}$. Trong trường hợp này hiển nhiên có $2> 1+\dfrac{4}{m}$.
Nếu $m=0$, thì $x<2$ hiển nhiên không là nghiệm.

Tóm lại
+ $m=0, \quad x>2.$
+ $m>4, \quad 1+\dfrac{4}{m}<x<2$
 + $0<m<4, \quad 2<x < 1+\dfrac{4}{m}$
 + $m<0, \quad \left[ {\begin{matrix} x>2\\x < 1+\dfrac{4}{m}  \end{matrix}} \right.$

PT thứ nhất có dạng $(x+2)^2+(y+1)^2=9$, đây là PT đường tròn $(C)$ tâm $I(-2,-1)$ bán kính $R=3.$
PT thứ hai là PT đường thẳng $(a)$ theo tham số $m$, và khoảng cách từ $I$ tới $(a)$ bằng
d$(I,(a))=\dfrac{\left| {-2(m+1)-m+2m+1} \right|}{\sqrt{(m+1)^2+m^2}}=\dfrac{\left| {m+1} \right|}{\sqrt{(m+1)^2+m^2}} < 3=R$
Dễ kiểm tra điều này vì $9(m+1)^2+9m^2 \ge (m+1)^2$ và dấu bằng thì không xảy ra.
Như vậy thì đường thẳng $(a)$ cắt đường tròn $(C)$ tại hai điểm phân biệt nên hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Biểu thức ta cần tìm giá trị lớn nhất chính là bình phương khoảng cách giữa hai giao điểm của $(a)$ và $(C)$. Và nó lớn nhất khi hai điểm này tạo thành một đường kính của $(C)$, hay $(a)$ phải đi qua gốc tọa độ $O(0,0)$.
Thay vào ta có $0.(m+1)+0.m+2m+1=0\Leftrightarrow m=-1/2.$

PT
$\Leftrightarrow x^{2}  - 2x-1= \sqrt[3]{x^{4} - x^{2} } $
$\Leftrightarrow (x^{2}  - 2x-1)^3=x^{4} - x^{2}  $
$\Leftrightarrow x^6 -6x^5+10x^4+4x^3-10x^2-6x-1=0  $
$\Leftrightarrow (x^{2}  - x-1)( x^4-5x^3+6x^2+5x+1)=0  $
Pt $x^{2}  - x-1$ cho nghiệm $x=\dfrac{1\pm \sqrt 5}{2}$
PT $ x^4-5x^3+6x^2+5x+1=0$ vô nghiệm vì
$ x^4-5x^3+6x^2+5x+1=(x^2-1)^2-5x(x^2-1)+8x^2=(x^2-1-\dfrac{5}{2}x)^2+\dfrac{7}{4}x^2>0 \quad \forall x.$