Từ giả thiết ta có
$\dfrac{1}{1+a} \ge \left ( 1-\dfrac{1}{1+b} \right )+ \left ( 1-\dfrac{1}{1+c} \right )+ \left ( 1-\dfrac{1}{1+d} \right )$
$\dfrac{1}{1+a} \ge\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}+\dfrac{d}{1+d}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{b}{1+b}.\dfrac{c}{1+c}.\dfrac{d}{1+d}}$
 $\dfrac{1}{1+a} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{bcd}{(1+b)(1+c)(1+d)}}$
 Tương tự
 $\dfrac{1}{1+b} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{acd}{(1+a)(1+c)(1+d)}}$
  $\dfrac{1}{1+c} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{bad}{(1+b)(1+a)(1+d)}}$
  $\dfrac{1}{1+d} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{bca}{(1+b)(1+c)(1+a)}}$
 Nhân theo từng vế $4$ BĐT trên và ta có đpcm.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

6.

Bạn xem bài toán tương tự tại đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/115433/cap-so-cong

Từ
$\dfrac{u_m}{u_n}=\dfrac{m}{n}\Rightarrow \dfrac{u_1+(m-1)d}{u_1+(n-1)d}=\dfrac{m}{n}\Rightarrow nu_1+n(m-1)d=mu_1+m(n-1)d$
 $\Rightarrow (n-m)u_1=d(n-m)\Rightarrow u_1=d$, do $m \ne n.$
Như vậy cấp số cộng có dạng $d,2d,3d,\ldots$
$S_m=d+2d+\ldots+md=d(1+2+\ldots+m)=\dfrac{dm(m+1)}{2}$
$S_n=d+2d+\ldots+nd=d(1+2+\ldots+n)=\dfrac{dn(n+1)}{2}$
 Từ đây suy ra đpcm.