b)
\(I = \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{3\sin x + 4\cos x}}{{3{{\sin }^2}x + 4{{\cos }^2}x}}dx}  = 3\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin {\rm{x}}dx}}{{3{{\sin }^2}x + 4{{\cos }^2}x}} + 4} \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\cos xdx}}{{3{{\sin }^2}x + 4{{\cos }^2}x}}}=I_1+I_2  \)
Trong đó :
\({I_1} = 3\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin {\rm{x}}dx}}{{3{{\sin }^2}x + 4{{\cos }^2}x}} \underbrace{=}_{t= \cos x}3\int\limits_0^{1}\frac{dt}{3+t^2}= \frac{\pi }{{2\sqrt 3 }}} \)
\({I_2} = 4\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\cos xdx}}{{3{{\sin }^2}x + 4{{\cos }^2}x}}}  \underbrace{=}_{t= \sin x}4\int\limits_0^{1}\frac{dt}{4-t^2} = \ln 3\)
\( \Rightarrow I = {I_1} + {I_2} = \boxed {\dfrac{\pi }{{2\sqrt 3 }} + \ln 3} \).

Gọi $M(a,b) \in (E)$ là điểm cần tìm.
Ta có $4a^2+9b^2=36\Rightarrow \left (\dfrac{a}{3} \right )^2+ \left (\dfrac{b}{2} \right )^2=1$
Khoảng cách từ $M$ tới $d$ tính bằng
$h = \dfrac{|3a+4b+24| }{\sqrt{3^2+4^2 }}=\dfrac{|3a+4b+24| }{5}$
Áp dụng bđt Bunhia ta có
$(3a+4b)^2 = \left (9.\dfrac{a}{3}+8.\dfrac{b}{2} \right )^2 \le (9^2+8^2)\left[ { \left (\dfrac{a}{3} \right )^2+ \left (\dfrac{b}{2} \right )^2} \right]=145$
Suy ra $3a+4b \ge -\sqrt{145 } \Leftrightarrow 3a+4b+24 \ge 24 -\sqrt{145 }>0$
Tóm lại  $h \ge \dfrac{ 24 -\sqrt{145 }}{5}$.
Vậy $\min h = \dfrac{ 24 -\sqrt{145 }}{5}\Leftrightarrow \begin{cases}\dfrac{a}{27}=\dfrac{b}{16} \\  \left (\dfrac{a}{3} \right )^2+ \left (\dfrac{b}{2} \right )^2=1\\3a+4b = -\sqrt{145 } \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a= \dfrac{-27}{\sqrt{145 }}\\ b=\dfrac{-16}{\sqrt{145 }}  \end{cases} $

PT
$\Leftrightarrow x^2+2mx+m^2+6=x^2+m^2+4m+4$
$\Leftrightarrow mx=-1+2m$

 +Nếu $m=0$ thì PT $\Leftrightarrow 0x =-1$, pt này vô nghiệm nên Pt ban đầu vô nghiệm.
+ Nếu $m \ne 0$ PT $\Leftrightarrow x=\frac{-1+2m}{m}$
 Và để $x >2$ thì cần $\frac{-1+2m}{m}-2 >0\Leftrightarrow \frac{-1}{m}>0\Leftrightarrow m<0$

Vậy $m<0.$

Bài 1.
+ Nếu $5$ bông hoa này giống nhau  thì ta có $C_7^5=21$ (cách).
+ Nếu $5$ bông hoa này khác nhau  thì ta có $A_7^5=2520$ (cách).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có
$4^{x^{2}+x+1}+1 \ge 2.\sqrt{4^{x^{2}+x+1}}=2.2^{x^{2}+x+1}=2^{x^{2}+x+2} \ge 2^{x+2}$
Như vậy ta phải có
$\begin{cases}4^{x^{2}+x+1}=1   (\text {dấu bằng Cô-si}) \\ x^2=0\\4^{x^{2}+x+1}+1=2^{x+2} \end{cases}$
đây là điều không thể.
Vậy BPT đã cho vô nghiệm.

+ Tính $PQ$
Ta có
$\dfrac{PQ}{BC}=\dfrac{SQ}{BS}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{x}{a}\Rightarrow PQ =2x$

+Tính $MN$
Gọi $BD$ cắt $MN$ tại $I$.
do $\triangle ABD$ cân mà $IM \parallel AD$ nên $\triangle BMI$ cân suy ra $MI=BM=a-x$
ta có
$\dfrac{NI}{BC}=\dfrac{DN}{DC}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{x}{a}\Rightarrow NI =2x$
Suy ra
$MN=MI+NI=a+x$

+ Tính khoảng cách $h$ giữa $MN, PQ.$
Ta có $MQ=MB=a-x$ nên
$h^2=MQ^2-\left ( \dfrac{MN-PQ}{2}\right )^2=(a-x)^2-\left ( \dfrac{a-x}{2}\right )^2\Rightarrow h=\sqrt 3.\dfrac{a-x}{2}$

Vậy
$S_{MNPQ}=\dfrac{1}{2}(MN+PQ).h=\dfrac{\sqrt 3(a-x)(a+3x)}{4}$ (đvdt).