Bài 2.
a) Ta có
$U_{n+3}=\sin \left ((4n+11)\dfrac{\pi}{6} \right )=\sin \left ((4n-1)\dfrac{\pi}{6} +2\pi\right )=\sin \left ((4n-1)\dfrac{\pi}{6} \right )=u_n   \forall n \ge 1.$
b) Ta thấy rằng nếu
$n=3m$ thì $u_n=\sin \left ((12m-1)\dfrac{\pi}{6} \right )=\sin \left (2\pi-\dfrac{\pi}{6} \right )=-\frac{1}{2}$
$n=3m+1$ thì $u_n=\sin \left ((12m+3)\dfrac{\pi}{6} \right )=1$
$n=3m+2$ thì $u_n=\sin \left ((12m+7)\dfrac{\pi}{6} \right )=-\frac{1}{2}$
Như vậy
$U_1+\ldots+U_{15}=5U_1+5U_2+5U_3=5(U_1+U_2+U_3)=0$

Bài 3.
a) $U_n \ge -1$ và $U_n$ không bị chặn trên vì $\lim U_n = +\infty.$
b) $0 < U_n = \dfrac{1}{n^2+2n}\le \dfrac{1}{1^2+2}= \dfrac{1}{3}$
c) $0 < U_n = \dfrac{1}{2n^2-1}\le 1    \forall n \ge 1.$
d) Ta có
$(\sin n +\cos n )^2 \le 2(\sin^2n+\cos^2n)=2$
Vậy $-\sqrt 2\le  U_n \le \sqrt 2.$
 

Bài 2. Để xét tính đơn điệu của dãy số ta kiểm tra $U_{n+1}-U_n$.
a) $U_{n+1}-U_n=3(n^2-n+1) >0\Rightarrow U_n \nearrow$.
b) $U_{n+1}-U_n=-\dfrac{2n+1}{3^{n+1}}<0\Rightarrow U_n \searrow$.
c) $U_{n+1}-U_n=-\dfrac{3}{(5n+1)(5n+6)}<0\Rightarrow U_n \searrow$.
 d) $U_{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n} > \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt {n+2}}=U_{n+1} \Rightarrow U_n \searrow$.

Bài 1.
Bạn tự chứng minh bằng quy nạp điều sau coi như bài tập nhé.
$U_n >1       \forall n \in \mathbb{N}.$
Từ đây suy ra
$U_{n+1} -U_n =\dfrac{1-U_n}{2} <0  \forall n \in \mathbb{N}$
Điều này suy ra $U_n$ là dãy giảm chặn dưới bởi $1$.

Câu 3.
a) Ta chứng minh bằng quy nạp.
Với $n=1$ hiển nhiên đúng.
Giả sử đúng với $n=k$ tức là $U_k <8.$
Theo công thức truy hồi ta có
$U_{k+1}=\frac{1}{2}U_k+4 <\frac{1}{2}.8+4=8 $
Tức là nó cũng đúng với $n=k+1$, đpcm.
b) Theo câu a)
$U_{n+1}-U_n =4-\frac{1}{2}U_n >0$ suy ra $U_n$ là dãy tăng.