Ta biết rằng
$(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
Suy ra
$\arcsin x=\arcsin x+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}=(x \arcsin x)'+\left (\sqrt{1-x^2} \right )'$
Vậy
$\int\limits_{0}^{1/2}\arcsin xdx = \left[ {x \arcsin x+\sqrt{1-x^2}} \right]_{0}^{1/2}=\boxed{\dfrac{\sqrt 3-2}{2}+\dfrac{\pi }{12}}$

Câu 7.
Áp dụng BĐT quen thuộc
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{x+y},    \forall x,y >0.$
 Ta có 
 $\dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{b+1} \ge \dfrac{4}{a+b+2}= \dfrac{4}{3}$, đpcm.
Đẳng  thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

Câu 8.
Đặt $A=a^3+(a+1)^3+(a+2)^3 $ là tổng của ba số tự nhiên liên tiếp.
Khai triển và phân tích thành nhân tử ta được $A=3(a+1)(a^2+2a+3) =3(a+1)((a+1)^2+2) $
Như vậy chỉ cần chứng mình $B =(a+1)((a+1)^2+2)   \vdots  3$
Xét các trường hợp
+ $a \equiv 0 \mod 3 \Rightarrow(a+1)^2+2 \equiv 1^2+2 \equiv0 \mod 3 \Rightarrow B \equiv 0 \mod 3\Rightarrow B  \vdots  3$
+ $a \equiv 1 \mod 3 \Rightarrow(a+1)^2+2 \equiv 2^2+2 \equiv6 \mod 3\Rightarrow B \equiv 0 \mod 3\Rightarrow B  \vdots  3$
+ $a \equiv 2 \mod 3 \Rightarrow(a+1) \equiv2+1 \equiv3 \mod 3 \Rightarrow B \equiv 0 \mod 3\Rightarrow B  \vdots  3$
Vậy ta có đpcm.

Câu 6.
Đặt $A= n(n^2+1)(n^2+4)$
Xét các trường hợp
$n \equiv 0 \mod 5 \Rightarrow A  \vdots  5 $
$n \equiv 1 \mod 5 \Rightarrow n^2 \equiv 1 \mod 5 \Rightarrow n^2+4 \equiv 5 \equiv 0 \mod 5 \Rightarrow A  \vdots  5 $
$n \equiv 2 \mod 5 \Rightarrow n^2 \equiv 4 \mod 5 \Rightarrow n^2+1 \equiv 5 \equiv 0 \mod 5 \Rightarrow A  \vdots  5 $
$n \equiv 3 \mod 5 \Rightarrow n^2 \equiv 9 \mod 5 \Rightarrow n^2+1 \equiv 10 \equiv 0 \mod 5 \Rightarrow A  \vdots  5 $
$n \equiv 4 \mod 5 \Rightarrow n^2 \equiv 16 \mod 5 \Rightarrow n^2+4 \equiv 20 \equiv 0 \mod 5 \Rightarrow A  \vdots  5 $
Vậy $A  \vdots  5 $ với mọi $n$.

Câu 5.
Áp dụng BĐT quen thuộc
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a+b},    \forall a,b >0.$
 Ta có 
 $\dfrac{1}{x+4} + \dfrac{1}{y+4} \ge \dfrac{4}{x+y+8}= \dfrac{4}{16}= \dfrac{1}{4}$
 $A \ge \dfrac{1}{4} $
 Vậy $\min A=  \dfrac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=4$

Từ $x+y=1 \Rightarrow \begin{cases}x-1=-y \\ y-1=-x \end{cases}\Rightarrow (x-1)(y-1)=xy$
Ta có
$B = \left (1-\frac{1}{x^2}\right ) \left (1-\frac{1}{y^2}\right )=\dfrac{(x^2-1)(y^2-1)}{x^2y^2}=\dfrac{ (x-1)(y-1) (x+1)(y+1)}{x^2y^2}$
 $B=\dfrac{ xy (x+1)(y+1)}{x^2y^2}=\dfrac{ (x+1)(y+1)}{xy}=\dfrac{ xy+1+x+y}{xy}=1+\frac{1}{xy}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$
 Ta có 
 $xy \le \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{xy} \ge 4$
 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \ge \frac{4}{x+y}=4$
 Vậy $\min B =9 \Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Câu 3. Do $n$ lẻ nên ta có thể đặt $n=2k+1,  k \in \mathbb{N}.$
Ta có
$1^n=1 \equiv 1\mod 8$
$3^n=3^{2k+1}=9^k.3 \equiv 3\mod 8$
$5^n=5^{2k+1}=25^k.5 \equiv 5\mod 8$
$7^n=7^{2k+1}=49^k.7 \equiv 7\mod 8$
Vậy $1^n+3^n+5^n+7^n \equiv 1+3+5+7 \equiv 16\equiv 0\mod 8$
Suy ra đpcm.