P=\int\limits_{0}^{2}x\sqrt{2x-x^2}dx
Đặt x=u+1\Rightarrow 2x-x^2=2(u+1)-(u+1)^2=1-u^2 , dx=du
P=\int\limits_{-1}^{1}(u+1)\sqrt{1-u^2}du
Đặt u=sint , t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\Rightarrow \sqrt{1-u^2}=cost , du=cost.dt
P=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(sint+1)cos^2t.dt
Biến đổi hàm lượng giác như sau (sint+1)cos^2t=sint.cos^2t+cos^2t=sint.cos^2t+\frac{cos{2t}+1}{2}
P=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sint.cos^2t.dt+\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{cos{2t}}{2}+\frac{1}{2})dt
Vì sint.cos^2t là hàm số lẻ nên tích phân của nó trên đoạn [-\frac{\pi}{2}.\frac{\pi}{2}] bằng 0
\int(\frac{cos{2t}}{2}+\frac{1}{2})dt=\frac{sin{2t}}{4}+\frac{t}{2}+C
Từ đây ta có
P=\frac{sin\pi}{4}+\frac{\pi}{4}-\frac{sin(-\pi)}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}