hình 11

Cho hình chóp S.ABCD, đáy (ABCD) là hình chữ nhật. H, K, E lần lượt là hình chiếu vuôn góc của A lên SB, SC, SD.1, C/m: các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông2, C/m: AH vuông góc (SBC). Từ đó suy ra 4 điểm A, H, K, E đồng phẳng3, Tìm điểm cách đều 5 điểm S, A, B, C, D4, Tìm điểm cách đều 7 điểm A, B, C, D, H, K, E

Hình học không gian

hình 11

Cho hình chóp S.ABCD, đáy (ABCD) là hình chữ nhật, SA vuông góc với mp (ABCD). H, K, E lần lượt là hình chiếu vuôn góc của A lên SB, SC, SD.1, C/m: các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông2, C/m: AH vuông góc (SBC). Từ đó suy ra 4 điểm A, H, K, E đồng phẳng3, Tìm điểm cách đều 5 điểm S, A, B, C, D4, Tìm điểm cách đều 7 điểm A, B, C, D, H, K, E

Hình học không gian

Xét $\Delta$A'AC vuông tại A => $AC^{2}= (3a)^{2}- (2a)^{2}= 5a^{2}$Xét $\Delta$ABC vuông tại B => $BC^{2}= 5a^{2}- a^{2}= 4a^{2}$ => BC= 2aGắn hệ trục tọa độ vào hình vẽ sao cho B trùng gốc tọa độ, BA trùng Ox, BC trùng Oy, BB' trùng OzKhi đó tọa độ các điểm là: B(0,0,0), A'(a, 0, 2a), C(0, 2a, 0), A(a, 0,0), M(a/2, a, 2a)=> $\overrightarrow{AM}$ (-a/2, a, 2a)= (-1,2,4) => Phương trình AM $\begin{cases}x= a-t_{1} \\ y=2t_{1}\\z=4t_{1} \end{cases}$$\overrightarrow{A'C}$ (-a, 2a, -2a)= (1,-2,2) => Phương trình A'C $\begin{cases}x= t_{2} \\ y= 2a-2t_{2}\\z=2t_{2} \end{cases}$Có: I= AM$\cap $A'C => Tọa độ I thỏa mãn : $\begin{cases}a-t_{1}= t_{2} \\ 2t_{1}=2a-2t_{2}\\4t_{1}=2t_{2} \end{cases}$ => $\begin{cases} t_{1}= a/3\\ t_{2}= 2a/3 \end{cases}$=> I(2a/3, 2a/3, 4a/3)Lại có phương trình mp(A'AB) là: y=0=> d(I, (A'AB)) = $\frac{\left| {2a/3} \right|}{\sqrt{1}}$= 2a/3Mà: $S_{A'AB}$ = 1/2. AA'. AB= $a^{2}$=> $V_{IAA'B}$= 1/3. d(I, (A'AB)) . $S_{A'AB}$ = $\frac{2a^{2}}{9}$

Xét $\Delta$A'AC vuông tại A => $AC^{2}= (3a)^{2}- (2a)^{2}= 5a^{2}$Xét $\Delta$ABC vuông tại B => $BC^{2}= 5a^{2}- a^{2}= 4a^{2}$ => BC= 2aGắn hệ trục tọa độ vào hình vẽ sao cho B trùng gốc tọa độ, BA trùng Ox, BC trùng Oy, BB' trùng OzKhi đó tọa độ các điểm là: B(0,0,0), A'(a, 0, 2a), C(0, 2a, 0), A(a, 0,0), M(a/2, a, 2a)=> $\overrightarrow{AM}$ (-a/2, a, 2a)= (-1,2,4) => Phương trình AM $\begin{cases}x= a-t_{1} \\ y=2t_{1}\\z=4t_{1} \end{cases}$$\overrightarrow{A'C}$ (-a, 2a, -2a)= (1,-2,2) => Phương trình A'C $\begin{cases}x= t_{2} \\ y= 2a-2t_{2}\\z=2t_{2} \end{cases}$Có: I= AM$\cap $A'C => Tọa độ I thỏa mãn : $\begin{cases}a-t_{1}= t_{2} \\ 2t_{1}=2a-2t_{2}\\4t_{1}=2t_{2} \end{cases}$ => $\begin{cases} t_{1}= a/3\\ t_{2}= 2a/3 \end{cases}$=> I(2a/3, 2a/3, 4a/3)Lại có phương trình mp(A'AB) là: y=0=> d(I, (A'AB)) = $\frac{\left| {2a/3} \right|}{\sqrt{1}}$= 2a/3Mà: $S_{A'AB}$ = 1/2. AA'. AB= $a^{2}$=> $V_{IAA'B}$= 1/3. d(I, (A'AB)) . $S_{A'AB}$ = $\frac{2a^{2}}{9}$

1a) Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC',CC'$ thì $\dfrac{AG_1}{AN}=\dfrac{AG_2}{AM}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow G_1G_2 \parallel MN \Rightarrow G_1G_2 \parallel (BCC'B')$

1a) Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,CC'$ thì $\dfrac{AG_1}{AN}=\dfrac{AG_2}{AM}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow G_1G_2 \parallel MN \Rightarrow G_1G_2 \parallel (BCC'B')$

b/ Ý tưởng chứng minh: Để chứng minh 2 mp vuông góc với nhau ta chứng minh trong 2 mp đó chứa 2 cặp cạnh vuông góc với nhau.+) Chứng minh: (SAB) vuông góc với (SAD)AB vuông góc với AD, AB vuông góc với SA => AB vuông góc với (SAD)=> AB vuông góc với SD (1)AD vuông góc với AB, AD vuông góc với SA => AD vuông góc với (SAB)=> AD vuông góc với SB (2)(1)(2) => (SAB) vuông góc với (SAD)+) Chứng minh: (SAC) vuông góc với (SCD) tương tự như trêngợi ý :

b/ Ý tưởng chứng minh: Để chứng minh 2 mp vuông góc với nhau ta chứng minh trong 2 mp đó chứa 2 cặp cạnh vuông góc với nhau.+) Chứng minh: (SAB) vuông góc với (SAD)AB vuông góc với AD, AB vuông góc với SA => AB vuông góc với (SAD)=> AB vuông góc với SD (1)AD vuông góc với AB, AD vuông góc với SA => AD vuông góc với (SAB)=> AD vuông góc với SB (2)(1)(2) => (SAB) vuông góc với (SAD)+) Chứng minh: (SAC) vuông góc với (SCD) tương tự như trêngợi ý :