Bài 1. Gọi $2013$ số đã cho là $x_1 , x_2 , .. , x_{2013}$
Phản chứng : không có số nào cũng như tổng hữu hạn nào chia hết cho $2013$
Xét 2013 số sau
$S_1=x_1$
$S_2=x_1+x_2$
$S_3=x_1+x_2+x_3$
...
$S_{2013}=x_1+x_2+...+x_{2013}$
Theo giả thiết phản chứng , cả $2013$ số này đều không chia hết cho $2013$ , mà chỉ có $2012$
số dư $(1,2,...,2012)$
Nên tồn tại hai số $S_i , S_j$chia cho $2013$ có cùng số dư , $i<j$
Khi đó $S_j-S_i=x_{i+1}+x_{i+2}+...+x_j$ chia hết cho $2013$ . Mâu thuẫn
Vậy luôn tồn tại một số hoặc một tổng chia hết cho $2013$