Gọi số có 6 chữ số là : $\overline{abcdef}$
TH1: a$\in $$\left\{ {1,2,3} \right\}$  => a có 3 cách chọn
                          Khi đó: b có 5 cách chọn
                                        c có 4 cách chọn
                                        d có 3 cách
                                        e có 2 cách
                                        f có 1 cách chọn
=> Có: 3.5.4.3.2.1= 360 số thỏa mãn
TH2: a=4 => a có 1 cách chọn, phân tiếp làm 2 trường hợp
TH2.1: b= $\left\{ {1,2} \right\}$  => b có 2 cách chọn
                         Khi đó: c có 4 cách chọn
                                      d có 3 cách chọn
                                      e có 2 cách chọn
                                      f có 1 cách chọn
=> Có: 2.4.3.2.1= 48 số thỏa mãn
TH 2.2: b=3, c=1 => b có 1 cách chọn, c có 1 cách chọn
                       Khi đó: d có 3 cách chọn
                                     e có 2 cách chọn
                                     f có 1 cách chọn
=> có 1.1.3.2.1= 6 số thỏa mãn
Vậy có: 360+48+6= 414 số thỏa mãn đề bài. 

a/ d1 có VTPT $\overrightarrow{n}$= (-1,2,3)
d2 có VTPT $\overrightarrow{m}$= (1,1,2)
=> $\left[ {\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}} \right]$= (1,5,-3) $\neq $ $\overrightarrow{0}$
Vậy d1 và d2 chéo nhau.

Gọi I là trung điểm của AD
Vì $\Delta$SAD đều và (SAD) vuông góc với (ABCD) => SI vuông góc với (ABCD)
Từ I kẻ IH // DC => H là trung diểm của BC
Gắn hệ trục tọa độ vào hình vẽ sao cho I trùng gốc O, IH trùng Ox, ID trùng Oy, IS trùng Oz
Khi đó: I(0,0,0), C(a,a/2,0), P(a/2,a/2,0), M(a/2, -a/2, a/2), N(a/2,a/2,a/2)
=> $\overrightarrow{MN}$(0,a,0) => $MN^{2}=a^{2}$
$\overrightarrow{MP}$(0,a,-a/2) => $MP^{2}= a^{2}+a^{2}/4$
$\overrightarrow{NP}$=(0,0,-a/2) => $NP^{2}=a^{2}/4$
=> $\Delta$MNP vuông tại N=> $S_{MNP}$= 1/2. MN. NP= $\frac{a^{2}}{4}$
Lại có: $\left[ {\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}} \right]$= (-1,0,0) (sau khi dã rút gọn a)
=> phương trình mp(MNP): -x+a/2=0
=> d(C, (MNP)) = $\frac{\left| {-a+ a/2} \right|}{\sqrt{(-1)^{2}}}$= a/2
=> $V_{CMNP}$ = 1/3. d(C, (MNP)). $S_{MNP}$= $\frac{a^{3}}{24}$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Ta thấy: $(3a)^{2}+(4a)^{2}=(5a)^{2}$ => $\Delta$ABC là tam giác vuông tại B => $S_{ABC}$= 1/2. AB. BC= 6$a^{2}$
$\Delta$ACB= $\Delta$ACD (c.c.c) => $S_{ABCD}$= 2. $S_{ABC}$= 12$a^{2}$
 Vậy $V_{S. ABCD}$= 1/3. SH. $S_{ABCD}$ = $\frac{36a^{3}}{7}$

Thiết diện qua M và song song với mp(SBC) nên trong mp(ABCD) kẻ MN// BC cắt CD tại N.
Trong mp(SAB) kẻ MH// SB cắt AS tại H.
Trong mp(SAD), từ H kẻ HG// AD cắt SD tại G.
Khi đó thiết diện (P) cần tìm chính là mp(MHGN)
Ta thấy, MN// BC => MN vuông góc với AB mà MN vuông góc với SA => MN vuông góc với mp(SAB) => MN vuông góc với MH
Do vậy thiết diện là hình thang vuông tại M và H có HG// MN
Có: BA=BC=a => $\Delta$BAC là tam giác vuông cân tại B => $\widehat{BAC}$= $45^{0}$ => $\widehat{CAD}$ = $45^{0}$
=> AD là cạnh huyền trong $\Delta$CAD vuông cân tại C có CA= a.$\sqrt{2}$ => AD= 2a
Gọi I= AC $\cap $MN, ta có:
MI/BC= AM/AB => MI= a
NI/DA= CN/CD= BM/BA = $\frac{a-x}{a}$ => NI= 2.(a-x)
=> MN= 3a- 2x
Mặt khác, $\Delta$SHG $\sim $ $\Delta$SAD => HG/AD= SH/SA =BM/BA = $\frac{a-x}{a}$ => HG= 2.(a-x)
Có: $\Delta$AMH $\sim $ $\Delta$ABS => AH/AS= AM/AB =>AH= $\frac{x. a\sqrt{2}}{a}$ => MH= $\sqrt{AH^{2}+AM^{2}}$= $\sqrt{3}$.x
Vậy: $S_{MNHG}$ = 1/2.(HG+MN). HM =  $\frac{(5a-4x).\sqrt{3}x}{2}$

Trong mp(SAC) kẻ AC' vuông góc với SC (1)
Trong mp(SAB) kẻ AB' vuông góc với SB. Lại có: BC vuông góc với (SAB)
=> AB' vuông góc với (SBC) => AB' vuông góc với SC (2)
Trong mp(SAD) kẻ AD' vuông góc với SD. Lại có: DC vuông góc với (SAD)
=> AD' vuông góc với (SDC) => AD' vuông góc với SC (3)
(1)(2)(3) => SC vuông góc với mp(AB'C'D'). Như vậy mp(AB'C'D') chính là thiết diện ($\alpha$) cần tìm.
Ta có: $\Delta$SB'A = $\Delta$SD'A (g.c.g) => AB'= AD' (4)
Lại có: $\Delta$SC'B' = $\Delta$SC'D' (c.g.c) => C'B'= C'D' (5)
(4)(5)=> $\Delta$AB'C' = $\Delta$AD'C'
=> 2 đường chéo của tứ giác AB'C'D' vuông góc với nhau
=> $S_{AB'C'D'}$ = 1/2. AC'. B'D'
Có: AC' là đường cao trong $\Delta$SAC vuông tai A => $\frac{1}{AC'^{2}}$= $\frac{1}{AS^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}$ => AC'= a. $\sqrt{\frac{2}{3}}$
Lại có: AB' là đường cao trong $\Delta$SAB vuông tai A => $\frac{1}{AB'^{2}}$= $\frac{1}{AS^{2}}+\frac{1}{AB^{2}}$ => AB'= $\frac{a}{\sqrt{2}}$
$\Delta$SB'A vuông tai B' => SB'= $\frac{a}{\sqrt{2}}$
Có: SB=SD, SB'=SD' => $\frac{SB'}{SB}$= $\frac{SD'}{SD}$ => $\Delta$SB'D' đồng dạng với $\Delta$SBD
=> B'D'/BD= SB'/SB= $\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{a\sqrt{2}}$= 1/2 => B'D' = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Như vậy: $S_{AB'C'D'}$ = 1/2. a. $\sqrt{\frac{2}{3}}$. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{a^{2}}{2\sqrt{3}}$