a/ Gọi G là trung điểm của AB.=> Góc giữa (SAB) và (ABCD) là $\widehat{SGO}$= $60^{0}$Xét $\Delta$SOG vuông tại O có: SO= GO. tan$60^{0}$= a$\sqrt{3}$=> $V_{S.ABCD}$= 1/3. SO. $S_{ABCD}$= $\frac{4\sqrt{3}a^{3}}{3}$Trong mp(SAC) gọi H= SO$\cap $CITrong mp(SBD) qua H kẻ MN //BD. Khi đó mp(CMIN) chính là mp qua CI và // BDTa có: $\frac{V_{S.IMCN}}{V_{S.ABCD}}$= $\frac{V_{S.IMC}}{V_{S.ABC}}$+ $\frac{V_{S.INC}}{V_{S.ACD}}$ = $\frac{SI}{SA}$. $\frac{SM}{SB}$ +$\frac{SI}{SA}$. $\frac{SN}{SD}$= 2. $\frac{SI}{SA}$. $\frac{SN}{SD}$ (1)Có H là trọng tâm $\Delta$SAC => SH/SO= SN/SD= 2/3Thay vào (1) => $\frac{V_{S.IMCN}}{V_{S.ABCD}}$= 2/3=> $V_{S.IMCN}$= $\frac{8\sqrt{3}a^{3}}{9}$ b/ Trong mp (SAC) kẻ SK vuông góc với IC (2) Có BD//MN, BD vuông góc với (SAC) => MN vuông góc với (SAC)=> MN vuông góc với SK (3) (2), (3) => SK= d(S, (CMIN)) Có CH= $\sqrt{OH^{2}+OC^{2}}$= a$\sqrt{\frac{7}{3}}$ Mà H là trọng tâm $\Delta$ SAC => CI= 3/2. CH= $\frac{a\sqrt{21}}{2}$ Có MN= 2/3 BD= $\frac{a. 4\sqrt{2}}{3}$ => $S_{CMIN}$= 1/2. CI.MN= $\frac{a^{2}.\sqrt{42}}{3}$ Mà $V_{S.CMIN}$= 1/3. SK. $S_{CMIN}$ => SK= $\frac{8a}{\sqrt{14}}$

a/ Gọi G là trung điểm của AB.=> Góc giữa (SAB) và (ABCD) là $\widehat{SGO}$= $60^{0}$Xét $\Delta$SOG vuông tại O có: SO= GO. tan$60^{0}$= a$\sqrt{3}$=> $V_{S.ABCD}$= 1/3. SO. $S_{ABCD}$= $\frac{4\sqrt{3}a^{3}}{3}$Trong mp(SAC) gọi H= SO$\cap $CITrong mp(SBD) qua H kẻ MN //BD. Khi đó mp(CMIN) chính là mp qua CI và // BDTa có: $\frac{V_{S.IMCN}}{V_{S.ABCD}}$= $\frac{V_{S.IMC}}{V_{S.ABC}}$+ $\frac{V_{S.INC}}{V_{S.ACD}}$ = $\frac{SI}{SA}$. $\frac{SM}{SB}$ +$\frac{SI}{SA}$. $\frac{SN}{SD}$= 2. $\frac{SI}{SA}$. $\frac{SN}{SD}$ (1)Có H là trọng tâm $\Delta$SAC => SH/SO= SN/SD= 2/3Thay vào (1) => $\frac{V_{S.IMCN}}{V_{S.ABCD}}$= 2/3=> $V_{S.IMCN}$= $\frac{8\sqrt{3}a^{3}}{9}$ b/ Trong mp (SAC) kẻ SK vuông góc với IC (2) Có BD//MN, BD vuông góc với (SAC) => MN vuông góc với (SAC)=> MN vuông góc với SK (3) (2), (3) => SK= d(S, (CMIN)) Có CH= $\sqrt{OH^{2}+OC^{2}}$= a$\sqrt{\frac{7}{3}}$ Mà H là trọng tâm $\Delta$ SAC => CI= 3/2. CH= $\frac{a\sqrt{21}}{2}$ Có MN= 2/3 BD= $\frac{a. 4\sqrt{2}}{3}$ => $S_{CMIN}$= 1/2. CI.MN= $\frac{a^{2}.\sqrt{42}}{3}$ Mà $V_{S.CMIN}$= 1/3. SK. $S_{CMIN}$ => SK= $\frac{8a}{\sqrt{14}}$

Gọi G là trung điểm DCTrong mp(SHG) kẻ IN vuông góc với SG. (1)Ta có: DC vuông góc với HG, DC vuông góc với SH => DC vuông góc với mp(SHG) => DC vuông góc với IN (2) (1), (2) => IN vuông góc với (SDC). Theo giả thiết có IN=hXét $\Delta$SNI đồng dạng với $\Delta$SHG => $\frac{NI}{HG}$ =$\frac{SI}{SG}$Có SG= $\sqrt{SH^{2}+HG^{2}}$=$\sqrt{4SI^{2}+(a/2)^{2}}$=> $\frac{2h}{a}$= $\frac{SI}{\sqrt{4SI^{2}+(a/2)^{2}}}$=> SI= $\frac{ah}{\sqrt{a^{2}-4h^{2}}}$=> SH= $\frac{2ah}{\sqrt{a^{2}-4h^{2}}}$=> $V_{S.ABCD}$= 1/3. SH. $S_{ABCD}$= $\frac{2a^{3}h}{3\sqrt{a^{2}-4h^{2}}}$

Gọi G là trung điểm DCTrong mp(SHG) kẻ IN vuông góc với SG. (1)Ta có: DC vuông góc với HG, DC vuông góc với SH => DC vuông góc với mp(SHG) => DC vuông góc với IN (2) (1), (2) => IN vuông góc với (SDC). Theo giả thiết có IN=hXét $\Delta$SNI đồng dạng với $\Delta$SHG => $\frac{NI}{HG}$ =$\frac{SI}{SG}$Có SG= $\sqrt{SH^{2}+HG^{2}}$=$\sqrt{4SI^{2}+(a/2)^{2}}$=> $\frac{2h}{a}$= $\frac{SI}{\sqrt{4SI^{2}+(a/2)^{2}}}$=> SI= $\frac{ah}{\sqrt{a^{2}-4h^{2}}}$=> SH= $\frac{2ah}{\sqrt{a^{2}-4h^{2}}}$=> $V_{S.ABCD}$= 1/3. SH. $S_{ABCD}$= $\frac{2a^{3}h}{3\sqrt{a^{2}-4h^{2}}}$

Trên AC lấy C' sao cho AC'= a, trên AD lấy D' sao cho AD'= aKhi đó ta đi tính thể tích tứ diện đều ABC'D' (do các mặt đều là tam giác đều)Gọi G là trung điểm C'D\Gọi O là trọng tâm $\Delta$BC'D', ta có AO vuông góc với mp (BC'D')Xét $\Delta$AOG có $AO^{2}$= $AG^{2}$-$OG^{2}= $$(a\sqrt{3}/2)^{2}$ - $(\frac{a\sqrt{3}}{6})^{2}$= 4$a^{2}$/9 => AO=2a/3Có $S_{BC'D'}$ =1/2. BG.C'D'= $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$=> $V_{A.BC'D'}$= $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{18}$Tỉ lệ thể tích giữa 2 khối chóp tam giác: $\frac{V_{ABC'D'}}{V_{ABCD}}$= $\frac{AB}{AB}$. $\frac{AC'}{AC}$. $\frac{AD'}{AD}$= a/b. a/c= $\frac{a^{2}}{bc}$=> $V_{ABCD}$= $\frac{abc\sqrt{3}}{18}$

Trên AC lấy C' sao cho AC'= a, trên AD lấy D' sao cho AD'= aKhi đó ta đi tính thể tích tứ diện đều ABC'D' (do các mặt đều là tam giác đều)Gọi G là trung điểm C'DGọi O là trọng tâm $\Delta$BC'D', ta có AO vuông góc với mp (BC'D')Xét $\Delta$AOG có $AO^{2}$= $AG^{2}$-$OG^{2}= $$(a\sqrt{3}/2)^{2}$ - $(\frac{a\sqrt{3}}{6})^{2}$= 4$a^{2}$/9 => AO=2a/3Có $S_{BC'D'}$ =1/2. BG.C'D'= $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$=> $V_{A.BC'D'}$= $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{18}$Tỉ lệ thể tích giữa 2 khối chóp tam giác: $\frac{V_{ABC'D'}}{V_{ABCD}}$= $\frac{AB}{AB}$. $\frac{AC'}{AC}$. $\frac{AD'}{AD}$= a/b. a/c= $\frac{a^{2}}{bc}$=> $V_{ABCD}$= $\frac{abc\sqrt{3}}{18}$

a/ Trong mp(BCD), gọi E= CD$\cap $JK. Khi đó, E =CD$\cap $(IJK)Có EJ qua K là trung tuyến trong $\Delta$BCE, mà BK= 2/3 BD=> K là trọng tâm $\Delta$BCE => BD là trung tuyến trong $\Delta$BCE=> DC = DEb/ Trong mp( ACE), gọi F= IE$\cap $ADTrong $\Delta$ACE có 2 trung tuyến EI và AD giao nhau tại F=> AF= 2FDc/ Có F là trọng tâm $\Delta$ACE => EF= 2/3. EICó K là trọng tâm $\Delta$BCE => EK= 2/3. EJ=> EF/EI = EK/EJ=> FK // IJ

a/ Trong mp(BCD), gọi E= CD$\cap $JK. Khi đó, E =CD$\cap $(IJK)Có EJ qua K là trung tuyến trong $\Delta$BCE, mà BK= 2/3 BD=> K là trọng tâm $\Delta$BCE => BD là trung tuyến trong $\Delta$BCE=> DC = DEb/ Trong mp( ACE), gọi F= IE$\cap $ADTrong $\Delta$ACE có 2 trung tuyến EI và AD giao nhau tại F=> AF= 2FDc/ Có F là trọng tâm $\Delta$ACE => EF= 2/3. EICó K là trọng tâm $\Delta$BCE => EK= 2/3. EJ=> EF/EI = EK/EJ=> FK // IJd/ Mp (IJK) được mở rộng thành mp (IJE)Có MN nằm trong mp (ABN)Trong mp(BCD), gọi O= BN$\cap $JKTrong mp(ACE), gọi G= AN$\cap $IE=> Giao tuyến giữ 2 mp(BCD) và mp(ACE) là OGTrong mp(ABN), gọi N =MN$\cap $OGKhi đó, N= MN$\cap $ mp(IJK)

a/ Trong mp(BCD), gọi E= CD$\cap $JK. Khi đó, E =CD$\cap $(IJK)Có EJ qua K là trung tuyến trong $\Delta$BCE, mà BK= 2/3 BD=> K là trọng tâm $\Delta$BCE => BD là trung tuyến trong $\Delta$BCE=> DC = DEb/ Trong mp( ACE), gọi F= IE$\cap $ADTrong $\Delta$ACE có 2 trung tuyến EI và AD giao nhau tại F=> AF= 2FDc/ Có F là trọng tâm $\Delta$ACE => EF= 2/3. EICó K là trọng tâm $\Delta$BCE => EK= 2/3. EJ=> EF/EI = EK/EJ

a/ Trong mp(BCD), gọi E= CD$\cap $JK. Khi đó, E =CD$\cap $(IJK)Có EJ qua K là trung tuyến trong $\Delta$BCE, mà BK= 2/3 BD=> K là trọng tâm $\Delta$BCE => BD là trung tuyến trong $\Delta$BCE=> DC = DEb/ Trong mp( ACE), gọi F= IE$\cap $ADTrong $\Delta$ACE có 2 trung tuyến EI và AD giao nhau tại F=> AF= 2FDc/ Có F là trọng tâm $\Delta$ACE => EF= 2/3. EICó K là trọng tâm $\Delta$BCE => EK= 2/3. EJ=> EF/EI = EK/EJ=> FK // IJ

AC= $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$= 2$\sqrt{5}$aXét $\Delta$SAC vuông tại A, tan SAC= $\frac{SA}{AC}$= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ => SA= $\frac{2\sqrt{15}a}{3}$Ghép hình với hệt rục tọa độ trong không gian, sao cho A trùng O, AB trùng Ox, AD trùng Oy, AS trùng OzKhi đó tọa độ các điểm là: A(0,0,0), B(2a,0,0), M(2a,2a,0), N(0,3a,0), S( 0,0, $\frac{2\sqrt{5}a}{3}$)Theo công thức tính khoảng cách 2 đường chéo nhau trong không gian thì: d( $\overrightarrow{SB}$, $\overrightarrow{MN}$)= $\frac{\left| {\left[ {\overrightarrow{SB},\overrightarrow{MN}} \right].\overrightarrow{MB}} \right|}{\left| {\left[ {\overrightarrow{SB},\overrightarrow{MN}} \right]} \right|}$= $\frac{4\sqrt{5}a}{\sqrt{34}}$

AC= $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$= 2$\sqrt{5}$aXét $\Delta$SAC vuông tại A, tan SAC= $\frac{SA}{AC}$= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ => SA= $\frac{2\sqrt{15}a}{3}$Ghép hình với hệt rục tọa độ trong không gian, sao cho A trùng O, AB trùng Ox, AD trùng Oy, AS trùng OzKhi đó tọa độ các điểm là: A(0,0,0), B(2a,0,0), M(2a,2a,0), N(0,3a,0), S( 0,0, $\frac{2\sqrt{5}a}{3}$)Theo công thức tính khoảng cách 2 đường chéo nhau trong không gian thì: d( $\overrightarrow{SB}$, $\overrightarrow{MN}$)= $\frac{\left| {\left[ {\overrightarrow{SB},\overrightarrow{MN}} \right].\overrightarrow{MB}} \right|}{\left| {\left[ {\overrightarrow{SB},\overrightarrow{MN}} \right]} \right|}$= $\frac{4\sqrt{5}a}{\sqrt{34}}$

Gọi O= AC$\cap $BDTrong mp(SAC) gọi G= AC'$\cap $SOTrong mp(SBD), từ G kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB tại B', SD tại D'. Khi đó mp(P) chính là mp(AB'C'D') (Do BD song song với B'D' nên mp(P) song song với BD).Có G là trọng tâm $\Delta$SAC => $\frac{SG}{SO}$=$\frac{SB'}{SB}$=$\frac{SD'}{SD}$=$\frac{2}{3}$Ta có: $\frac{V_{S.AB'C'D'}}{V_{S.ABCD}}$=$\frac{V_{S.AB'C'}}{V_{S.ABC}}$+$\frac{V_{S.AC'D'}}{V_{S.ACD}}$ = $\frac{SB'}{SB}$. $\frac{SC'}{SC}$+ $\frac{SC'}{SC}$. $\frac{SD'}{SD}$ =2/3.1/2+1/2.2/3= 2/3Có ABCD là hình thoi, $\widehat{BAD}$= $60^{0}$ => $\Delta$ABD là tam giác đều cạnh a => $S_{ABCD}$=1/2.AC.BD= 1/2. a$\sqrt{3}$.a= $\frac{a^{2}.\sqrt{3}}{2}$=> $V_{S.ABCD}$= 1/3. SA. $S_{ABCD}$= $\frac{a^{3}.\sqrt{3}}{6}$=> $V_{S.AB'C'D'}$= $\frac{a^{3}.\sqrt{3}}{9}$

Gọi O= AC$\cap $BDTrong mp(SAC) gọi G= AC'$\cap $SOTrong mp(SBD), từ G kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB tại B', SD tại D'. Khi đó mp(P) chính là mp(AB'C'D') (Do BD song song với B'D' nên mp(P) song song với BD).Có G là trọng tâm $\Delta$SAC => $\frac{SG}{SO}$=$\frac{SB'}{SB}$=$\frac{SD'}{SD}$=$\frac{2}{3}$Ta có: $\frac{V_{S.AB'C'D'}}{V_{S.ABCD}}$=$\frac{V_{S.AB'C'}}{V_{S.ABC}}$+$\frac{V_{S.AC'D'}}{V_{S.ACD}}$ = $\frac{SB'}{SB}$. $\frac{SC'}{SC}$+ $\frac{SC'}{SC}$. $\frac{SD'}{SD}$ =2/3.1/2+1/2.2/3= 2/3Có ABCD là hình thoi, $\widehat{BAD}$= $60^{0}$ => $\Delta$ABD là tam giác đều cạnh a => $S_{ABCD}$=1/2.AC.BD= 1/2. a$\sqrt{3}$.a= $\frac{a^{2}.\sqrt{3}}{2}$=> $V_{S.ABCD}$= 1/3. SA. $S_{ABCD}$= $\frac{a^{3}.\sqrt{3}}{6}$=> $V_{S.AB'C'D'}$= $\frac{a^{3}.\sqrt{3}}{9}$

Gọi G là trung điểm của DCĐồng nhất hình vẽ với hệ tọa độ không gian sao cho I trùng O, IB trùng Ox, IG trùng với Oy, IS trùng với OzKhi đó tọa độ các điểm là: I(0,0,0), A(-a/2,0,0), D(-a/2,-a,0), S(0,0,a$\sqrt{3}$/2), C(a/2,a,0)Ta có $\overrightarrow{AS}$= (a/2,0,a$\sqrt{3}$/2)= (1,0,$\sqrt{3}$)$\overrightarrow{AD}$=(0,-a,0)= (0,1,0)=> Vector pháp tuyến của mp(ASD)= $\left[ {\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AD}} \right]$= ($\sqrt{3}$,0,-1)=> Phương trình mp(ASD) là: $\sqrt{3}$x- z+ $\frac{\sqrt{3}a}{2}$=0=> d(C, (SAD))= $\frac{4\sqrt{3}a}{19}$

Gọi G là trung điểm của DCĐồng nhất hình vẽ với hệ tọa độ không gian sao cho I trùng O, IB trùng Ox, IG trùng với Oy, IS trùng với OzKhi đó tọa độ các điểm là: I(0,0,0), A(-a/2,0,0), D(-a/2,-a,0), S(0,0,a$\sqrt{3}$/2), C(a/2,a,0)Ta có $\overrightarrow{AS}$= (a/2,0,a$\sqrt{3}$/2)= (1,0,$\sqrt{3}$)$\overrightarrow{AD}$=(0,-a,0)= (0,1,0)=> Vector pháp tuyến của mp(ASD)= $\left[ {\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AD}} \right]$= ($\sqrt{3}$,0,-1)=> Phương trình mp(ASD) là: $\sqrt{3}$x- z+ $\frac{\sqrt{3}a}{2}$=0=> d(C, (SAD))= $\frac{4\sqrt{3}a}{19}$

Trong mp(ABCD) gọi G =MN$\cap $BD, H= MN$\cap $AC. Khi đó, mp(PMN) trở thành mp(PNH) Vì P, G $\in $ mp(SBD), xét trong mp(SBD) gọi Q= PG$\cap $SDVì H, P $\in $ mp(SAC), trong mp(SAC), gọi X = HP $\cap $ SA, J = HP $\cap $ SCKhi đó, thiết diện của (MNP) với hình chóp là mp (MNJQX)P/s: giả thiết bài cho chưa tốt vì thừa dữ kiện mà vẫn giải được, giả thiết ABCD là hình bình hành chưa được sử dụng. Hình bình hành cần cho kẻ các mối quan hệ song song, trong bài này thì không cho cái tỉ lệ nào bằng nhau cả, nên khi tìm thiết diện chỉ dùng quan hệ giao nhau!

Trong mp(ABCD) gọi G =MN$\cap $BD, H= MN$\cap $AC. Khi đó, mp(PMN) trở thành mp(PNH) Vì P, G $\in $ mp(SBD), xét trong mp(SBD) gọi Q= PG$\cap $SDVì H, P $\in $ mp(SAC), trong mp(SAC), gọi X = HP $\cap $ SA, J = HP $\cap $ SCKhi đó, thiết diện của (MNP) với hình chóp là mp (MNJQX)P/s: giả thiết bài cho chưa tốt vì thừa dữ kiện mà vẫn giải được, giả thiết ABCD là hình bình hành chưa được sử dụng. Hình bình hành cần cho kẻ các mối quan hệ song song, trong bài này thì không cho cái tỉ lệ nào bằng nhau cả, nên khi tìm thiết diện chỉ dùng quan hệ giao nhau!

A thuộc AD và AH => A(3, -5)BC qua C(-3,1) và vuông góc với AH => phương trình BC:7x-y+22=0 => B($x_{0}$,7$x_{0}$+22)D là trung điểm của BC => D($\frac{x_{0}-3}{2}$,$\frac{7x_{0}+23}{2}$). Mà D$\in $AD nên tọa độ D thỏa mãn phương trình: $\frac{x_{0}-3}{2}$+$\frac{7(7x_{0}+23)}{2}$+32=0 => $x_{0}$=$\frac{-111}{25}$=> B($\frac{-111}{25}$,$\frac{-227}{25}$)Khi đó: $\overrightarrow{AB}$=($\frac{-186}{25}$,$\frac{-102}{25}$)=(31,17) => phươg ntrình AB: 17x-31y-206=0$\overrightarrow{AC}$=(-6,6)=(-1,1) => phuuwo ngtrình AC: x+y+2=0$\overrightarrow{BC}$=($\frac{36}{25}$,$\frac{252}{25}$)=(1,7) => phươg ntrình BC : 7x-y-26=0

A thuộc AD và AH => A(3, -5)BC qua C(-3,1) và vuông góc với AH => phương trình BC:7x-y+22=0 => B($x_{0}$,7$x_{0}$+22)D là trung điểm của BC => D($\frac{x_{0}-3}{2}$,$\frac{7x_{0}+23}{2}$). Mà D$\in $AD nên tọa độ D thỏa mãn phương trình: $\frac{x_{0}-3}{2}$+$\frac{7(7x_{0}+23)}{2}$+32=0 => $x_{0}$=$\frac{-111}{25}$=> B($\frac{-111}{25}$,$\frac{-227}{25}$)Khi đó: $\overrightarrow{AB}$=($\frac{-186}{25}$,$\frac{-102}{25}$)=(31,17) => phương trình AB: 17x-31y-206=0$\overrightarrow{AC}$=(-6,6)=(-1,1) => phương trình AC: x+y+2=0$\overrightarrow{BC}$=($\frac{36}{25}$,$\frac{252}{25}$)=(1,7) => phươngtrình BC : 7x-y-26=0

Gắn hệ trục tọa độ vào hình vẽ sao cho C trùng O (0,0,0), CA trùng Ox, CB trùng Oy. Từ C kẻ Cz song song SI => Cz vuông góc với mp (ABC)Khi đó: C(0,0,0), A(a$\sqrt{2}$,0,0), B(0,a$\sqrt{2}$,0) (Do $\Delta$ABC là tam giác vuông tại C => AB=AC$\sqrt{2}$ => AC= a$\sqrt{2}$)$\Delta$ABC là tam giác vuông cân tại C, H là trung diểm AB => CH vuông góc với ABTrong mp (ABC) , kẻ IN vuông góc với CBXét $\Delta$CNI đồng dạng $\Delta$CHB=> $\frac{IN}{BH}$=$\frac{CI}{CB}$=> IN=$\frac{a}{2\sqrt{2}}$ (BH=1/2AB; CI=1/2CH=1/4AB=a/2)I cách đều AB, AC=> IA=IB=> I($\frac{a}{2\sqrt{2}}$,$\frac{a}{2\sqrt{2}}$,0)=> S($\frac{a}{2\sqrt{2}}$,$\frac{a}{2\sqrt{2}}$,$\frac{a}{2}$)Gọi G(x,y,z) là tâmamặt cầu S.ABI => GA=GB=GC=GSGiaỉ hệ 3 phươ trngình 3 ẩn được tọa độ G($\frac{-3a}{4\sqrt{2}}$,$\frac{-3a}{4\sqrt{2}}$,$\frac{-3a}{4}$)Từ đó, bán kính mặt cầu S.ABI là R=GA= $\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{2}}$

Gắn hệ trục tọa độ vào hình vẽ sao cho C trùng O (0,0,0), CA trùng Ox, CB trùng Oy. Từ C kẻ Cz song song SI => Cz vuông góc với mp (ABC)Khi đó: C(0,0,0), A(a$\sqrt{2}$,0,0), B(0,a$\sqrt{2}$,0) (Do $\Delta$ABC là tam giác vuông tại C => AB=AC$\sqrt{2}$ => AC= a$\sqrt{2}$)$\Delta$ABC là tam giác vuông cân tại C, H là trung diểm AB => CH vuông góc với ABTrong mp (ABC) , kẻ IN vuông góc với CBXét $\Delta$CNI đồng dạng $\Delta$CHB=> $\frac{IN}{BH}$=$\frac{CI}{CB}$=> IN=$\frac{a}{2\sqrt{2}}$ (BH=1/2AB; CI=1/2CH=1/4AB=a/2)I cách đều AB, AC=> IA=IB=> I($\frac{a}{2\sqrt{2}}$,$\frac{a}{2\sqrt{2}}$,0)=> S($\frac{a}{2\sqrt{2}}$,$\frac{a}{2\sqrt{2}}$,$\frac{a}{2}$)Gọi G(x,y,z) là tâm mặt cầu S.ABI => GA=GB=GC=GSGiải hệ 3 phương trình 3 ẩn được tọa độ G($\frac{-3a}{4\sqrt{2}}$,$\frac{-3a}{4\sqrt{2}}$,$\frac{-3a}{4}$)Từ đó, bán kính mặt cầu S.ABI là R=GA= $\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{2}}$

Gắn hệ trục tọa độ vào hình vẽ sao cho C trùng O (0,0,0), CA trùng Ox, CB trùng Oy. Từ C kẻ Cz song song SI => Cz vuông góc với mp (ABC)Khi đó: C(0,0,0), A(a$\sqrt{2}$,0,0), B(0,a$\sqrt{2}$,0) (Do $\Delta$ABC là tam giác vuông tại C => AB=AC$\sqrt{2}$ => AC= a$\sqrt{2}$)$\Delta$ABC là tam giác vuông cân tại C, H là trung diểm AB => CH vuông góc với ABTrong mp (ABC) , kẻ IN vuông góc với CBXét $\Delta$CNI đồng dạng $\Delta$CHB=> $\frac{IN}{BH}$=$\frac{CI}{CB}$=> IN=$\frac{a}{2\sqrt{2}}$ (BH=1/2AB; CI=1/2CH=1/4AB=a/2)I cách đều AB, AC=> IA=IB=> I($\frac{a}{2\sqrt{2}}$,$\frac{a}{2\sqrt{2}}$,0)=> S($\frac{a}{2\sqrt{2}}$,$\frac{a}{2\sqrt{2}}$,$\frac{a}{2}$)Gọi G(x,y,z) là tâmamặt cầu S.ABI => GA=GB=GC=GSGiaỉ hệ 3 phươ trngình 3 ẩn được tọa độ G($\frac{-3a}{4\sqrt{2}}$,$\frac{-3a}{4\sqrt{2}}$,$\frac{-3a}{4}$)Từ đó, bán kính mặt cầu S.ABI là R=GA= $\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{2}}$

Gắn hệ trục tọa độ vào hình vẽ sao cho C trùng O (0,0,0), CA trùng Ox, CB trùng Oy. Từ C kẻ Cz song song SI => Cz vuông góc với mp (ABC)Khi đó: C(0,0,0), A(a$\sqrt{2}$,0,0), B(0,a$\sqrt{2}$,0) (Do $\Delta$ABC là tam giác vuông tại C => AB=AC$\sqrt{2}$ => AC= a$\sqrt{2}$)$\Delta$ABC là tam giác vuông cân tại C, H là trung diểm AB => CH vuông góc với ABTrong mp (ABC) , kẻ IN vuông góc với CBXét $\Delta$CNI đồng dạng $\Delta$CHB=> $\frac{IN}{BH}$=$\frac{CI}{CB}$=> IN=$\frac{a}{2\sqrt{2}}$ (BH=1/2AB; CI=1/2CH=1/4AB=a/2)I cách đều AB, AC=> IA=IB=> I($\frac{a}{2\sqrt{2}}$,$\frac{a}{2\sqrt{2}}$,0)=> S($\frac{a}{2\sqrt{2}}$,$\frac{a}{2\sqrt{2}}$,$\frac{a}{2}$)Gọi G(x,y,z) là tâmamặt cầu S.ABI => GA=GB=GC=GSGiaỉ hệ 3 phươ trngình 3 ẩn được tọa độ G($\frac{-3a}{4\sqrt{2}}$,$\frac{-3a}{4\sqrt{2}}$,$\frac{-3a}{4}$)Từ đó, bán kính mặt cầu S.ABI là R=GA= $\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{2}}$

(SAB), (SAD) vuông góc với (ABCD)=> SA vuông góc với (ABCD)Khi đó ta đồng nhất được hệ trục tọa độ với hình sao cho A trùng O, AB trùng Ox, AD trùng Oy, AS trùng Oz=> A( 0,0,0), B(a, 0, 0), C (a, a,0), D( 0,a,0), S(0,0,a)$\overrightarrow{SD}$= (0,a,-a), $\overrightarrow{SC}$=(a, a, -a) => $\left[ {\overrightarrow{SD}\times \overrightarrow{SC}} \right]$= (0, -$a^{2}$, -$a^{2}$)= (0,1,1) => phương trình mp(SDC): y+ z=0$\overrightarrow{AB}$= (a,0,0), $\overrightarrow{DA}$=(0, a, 0) => $\left[ {\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{DA}} \right]$= ( -a, -a, $a^{2}$)= (-1, -1,a) => phương trình mp(ABCD): -x-y+ az=0$\overrightarrow{AS}$= (0,0,a), $\overrightarrow{AD}$=(0, a,0) => $\left[ {\overrightarrow{ÁS}\times \overrightarrow{AD}} \right]$= ( -$a^{2}$, a, 0)= (-a,1,0) => phương trình mp(SAD): -ax+y=0$\overrightarrow{AS}$= (0,0,a), $\overrightarrow{AB}$=(a, 0,0) => $\left[ {\overrightarrow{AS}\times \overrightarrow{AB}} \right]$= (-a, $a^{2}$, -a)= (-1,a, -1) => phương trình mp(SAB): -x+ay- z=0$\overrightarrow{SB}$= (a,0,-a), $\overrightarrow{SC}$=(a, a, -a) => $\left[ {\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SC}} \right]$= (a^2, 0, $a^{2}$)= (1,0,1) => phương trình mp(SBC): y+ z-a=0Gọi I( $x_{0}$, $y_{0}$, $z_{0}$) là tâm hình cầu nội tiếp hình chópKhoảng cách d(I, (SDC)) = $\frac{y_{0}+z_{0}}{\sqrt{2}}$Khoảng cách d(I, (ABCD))=$\frac{-x_{0}-y_{0}+az_{0}}{\sqrt{2+a^{2}}}$Khoảng cách d( I, (SAD))= $\frac{-ax_{0}+y_{0}}{\sqrt{a^{2}+1}}$Khoảng cách d(I, ( SAB))= $\frac{-x_{0}+ay_{0}-z_{0}}{\sqrt{a^{2}+2}}$Khoảng cách d(I, (SBC))= $\frac{x_{0}+z_{0}-a}{\sqrt{a^{2}+2}}$Xét d(I, (SAB))= d(I, (ABCD))=> -$y_{0}+az_{0}= ay_{0}- z_{0}$=> $ay_{0}-az_{0}= z_{0}-y_{0}$=> a($y_{0}-z_{0)= z_{0}-y_{0}}$=> a= (-1)Thay a=(-1), xét d(I, (SDC))= d(I, (SAD))=> $\frac{y_{0}+z_{0}}{\sqrt{2}}$= $\frac{x_{0}+y_{0}}{\sqrt{2}}$=> $x_{0}=z_{0}$Thay a=(-1), $x_{0}=z_{0}$, xét d(I, (SBC))= d( I, (SAB))=> 4$x_{0}+y_{0}+1$=0Thay các kết quả tìm được ở trên, xét d( I, (SDC))= d( I, (SAB))=> $\frac{-1-3x_{0}}{\sqrt{2}=\frac{2x_{0}+1}{\sqrt{3}}}$=> $x_{0}$= -1Từ đó suy ra: $y_{0}=3; z_{0}= -1$Vậy bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp là: R= d (I, (SDC))= \frac{y_{0}+z_{0}}{\sqrt{2}} = $\frac{3+ (-1)}{\sqrt{2}}$= $\sqrt{2}$

(SAB), (SAD) vuông góc với (ABCD)=> SA vuông góc với (ABCD)Khi đó ta đồng nhất được hệ trục tọa độ với hình sao cho A trùng O, AB trùng Ox, AD trùng Oy, AS trùng Oz=> A( 0,0,0), B(a, 0, 0), C (a, a,0), D( 0,a,0), S(0,0,a)$\overrightarrow{SD}$= (0,a,-a), $\overrightarrow{SC}$=(a, a, -a) => $\left[ {\overrightarrow{SD}\times \overrightarrow{SC}} \right]$= (0, -$a^{2}$, -$a^{2}$)= (0,1,1) => phương trình mp(SDC): y+ z=0$\overrightarrow{AB}$= (a,0,0), $\overrightarrow{DA}$=(0, a, 0) => $\left[ {\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{DA}} \right]$= ( -a, -a, $a^{2}$)= (-1, -1,a) => phương trình mp(ABCD): -x-y+ az=0$\overrightarrow{AS}$= (0,0,a), $\overrightarrow{AD}$=(0, a,0) => $\left[ {\overrightarrow{ÁS}\times \overrightarrow{AD}} \right]$= ( -$a^{2}$, a, 0)= (-a,1,0) => phương trình mp(SAD): -ax+y=0$\overrightarrow{AS}$= (0,0,a), $\overrightarrow{AB}$=(a, 0,0) => $\left[ {\overrightarrow{AS}\times \overrightarrow{AB}} \right]$= (-a, $a^{2}$, -a)= (-1,a, -1) => phương trình mp(SAB): -x+ay- z=0$\overrightarrow{SB}$= (a,0,-a), $\overrightarrow{SC}$=(a, a, -a) => $\left[ {\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SC}} \right]$= (a^2, 0, $a^{2}$)= (1,0,1) => phương trình mp(SBC): y+ z-a=0Gọi I( $x_{0}$, $y_{0}$, $z_{0}$) là tâm hình cầu nội tiếp hình chópKhoảng cách d(I, (SDC)) = $\frac{y_{0}+z_{0}}{\sqrt{2}}$Khoảng cách d(I, (ABCD))=$\frac{-x_{0}-y_{0}+az_{0}}{\sqrt{2+a^{2}}}$Khoảng cách d( I, (SAD))= $\frac{-ax_{0}+y_{0}}{\sqrt{a^{2}+1}}$Khoảng cách d(I, ( SAB))= $\frac{-x_{0}+ay_{0}-z_{0}}{\sqrt{a^{2}+2}}$Khoảng cách d(I, (SBC))= $\frac{x_{0}+z_{0}-a}{\sqrt{a^{2}+2}}$Xét d(I, (SAB))= d(I, (ABCD))=> -$y_{0}+az_{0}= ay_{0}- z_{0}$=> $ay_{0}-az_{0}= z_{0}-y_{0}$=> a($y_{0}-z_{0)= z_{0}-y_{0}}$=> a= (-1)Thay a=(-1), xét d(I, (SDC))= d(I, (SAD))=> $\frac{y_{0}+z_{0}}{\sqrt{2}}$= $\frac{x_{0}+y_{0}}{\sqrt{2}}$=> $x_{0}=z_{0}$Thay a=(-1), $x_{0}=z_{0}$, xét d(I, (SBC))= d( I, (SAB))=> 4$x_{0}+y_{0}+1$=0Thay các kết quả tìm được ở trên, xét d( I, (SDC))= d( I, (SAB))=> $\frac{-1-3x_{0}}{\sqrt{2}}$= $\frac{2x_{0}+1}{\sqrt{3}}$=> $x_{0}$= -1Từ đó suy ra: $y_{0}=3; z_{0}= -1$Vậy bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp là: R= d (I, (SDC))= \frac{y_{0}+z_{0}}{\sqrt{2}} = $\frac{3+ (-1)}{\sqrt{2}}$= $\sqrt{2}$

b/ mp ( ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N => thiết diện của mp (ABG) với chóp S. ABCD là mp (ABMN). Có AB// CD (ABCD là hình vuông) nên giao tuyến của mp(ABG) với mp (SCD) qua G và //CD. Vậy MN// CD (đpcm)c/ Để tính được thể tích của S. ABMN ta chia làm 2 khối chóp tam giác là S. ABN và S. BMN. Sau dó tính tỉ lệ thể tích theo \frac{V S.ABN}{V S.ABD} = \frac{SA}{SA}\times \frac{SB}{SB}\times \frac{SN}{SD}Tương tự, \frac{V S.BMN}{V S.BCD}=\frac{SB}{SB}\times \frac{SM}{SC}\frac{SN}{SD}Bài này mình chưa thể giải chi tiết hơn dược vì giả thiết chưa tốt (thừa và thiếu). Thiếu độ dài cạnh hình vuông, thiếu giả thiết để tính được SAThừa (SA, (ABCD))= 90 vì giả thiết này có thể suy được ra từ (SAB), (SAD) cùng vuông góc với (ABCD).

b/ mp ( ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N => thiết diện của mp (ABG) với chóp S. ABCD là mp (ABMN). Có AB// CD (ABCD là hình vuông) nên giao tuyến của mp(ABG) với mp (SCD) qua G và //CD. Vậy MN// CD (đpcm)c/ Để tính được thể tích của S. ABMN ta chia làm 2 khối chóp tam giác là S. ABN và S. BMN. Sau dó tính tỉ lệ thể tích theo V S.ABN/V S.ABD = SA/SA*SB/SB*SN/SDTương tự, V S.BMN/ V S.BCD= SB/SB* SM/ SC* SN/ SDBài này mình chưa thể giải chi tiết hơn dược vì giả thiết chưa tốt (thừa và thiếu). Thiếu độ dài cạnh hình vuông, thiếu giả thiết để tính được SAThừa (SA, (ABCD))= 90 vì giả thiết này có thể suy được ra từ (SAB), (SAD) cùng vuông góc với (ABCD).