Cho $x,\,y,\,z>0.$ Chứng minh rằng: $$\dfrac{2xy}{(z+x)(z+y)}+\dfrac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{3zx}{(y+z)(y+x)}\geq \dfrac{5}{3}$$

Cho $a+b+c\leq3.$ Tìm giá trị lớn nhất của: $$P=\dfrac{a+1+a\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b+1+b\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c+1+c\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}$$

Cho $x,\,y,\,z\in\left[1;\,3\right].$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=\dfrac{36x}{yz}+\dfrac{2y}{xz}+\dfrac{z}{xy}$$

Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=8.$ Tìm giá trị lớn nhất của: $$P=\dfrac{1}{2a+b+6}+\dfrac{1}{2b+c+6}+\dfrac{1}{2c+a+6}$$

Giải bất phương trình: $$\dfrac{6x^2}{\left(\sqrt{2x+1}+1\right)^2}>\left(2x+\sqrt{x-1}+1\right)$$

Cho tập $E=\left\{1;\,2;\,3;\,4;\,5\right\}.$ Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm ba chữ số đôi một khác nhau thuộc tập $E.$ Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số $5.$

Giải phương trình: $$\left(\tan x+1\right)\sin^2x+\cos2x+2= 3\left(\cos x+\sin x\right)\sin x$$