Giải bất phương trình: $$2\sqrt{1-\frac{2}{x}} + \sqrt{2x-\frac{8}{x}} \geq x$$

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông tại $B,$ $AB =a,\,AA'= 2a,\,A'C= 3a$. Gọi $M$ là trung điểm $A'C',\,I$ là giao của $AM$ và $A'C.$ Tính góc giữa $AM$ và $( ABB'A' )$ và khoảng cách từ $A$ đến $( IBC )$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D,\,AB=2CD,$ $CD=AD,$ $SA\perp(ABCD),$ $SA=AB,$ $E$ là trung điểm $SB,\,F$ là giao điểm của $SC$ với $(ADE).$ Chứng minh:

    a) Các $\Delta SDC,\,\Delta FCB$ là các tam giác vuông.

    b) $(SBC)\perp(SAD)$

    c) $(SAC)\perp(SBC)$

    d) $(SBC)\perp(ADE)$

Cho em xin cái hình luôn ạ.

Cho hình chóp $S.ABC,\,\Delta ABC$ vuông tại $C,\,\Delta SAC$ đều và $(SAC)\perp(ABC).$

    a) Chứng minh: $(SBC)\perp(SAC)$

    b) $I$ là trung điểm $SC.$ Chứng minh: $(ABI)\perp(SBC)$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $\Delta SAB$ cân tại $S$ và vuông góc $(ABCD),\,I,\,K$ là trung điểm của $AB,\,AD.$ Chứng minh:

   a) $(SAD)\perp(SAB)$

   b) $(SID)\perp (ABCD)$

   c) $(SID)\perp (SKC)$

Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l} 2y^3+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}-y\\y+1=2x^2+2xy\sqrt{1+x} \end{array} \right.$$

Cho các số nguyên $x,\,y$ thỏa mãn: $4x+5y=7.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=5|x|-3|y|$$

Cho các số thực dương $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $abc=\dfrac{1}{6}.$ Chứng minh rằng: $$3+\dfrac{a}{2b}+\dfrac{2b}{3c}+\dfrac{3c}{a}\geq a+2b+3c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{3c}$$

Tính tổng: $$A=\sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\dfrac{1}{2012^2}+\dfrac{1}{2013^2}}$$