Biến đổi phương trình về dạng:
$(2z-1)[(m-2)z^2-2mz+m+1]=0$
$\Leftrightarrow z_o=\frac{1}{2} $ hoặc $g(z)=(m-2)z^2-2mz+m+1=0$ (*)
Để phương trình (1) có đúng một nghiệm thực điều kiện là :
(*) có hai nghiệm phức hoặc có duy nhất nghiệm $z=\frac{1}{2} $
+) Trường hợp 1: Nếu $m-2=0 \Leftrightarrow m=2$
Khi đó:
(*)$ \Leftrightarrow -4z+3=0 \Leftrightarrow z=\frac{3}{4} \neq \frac{1}{2} $, không thỏa mãn.
+) Trường hợp 2: Nếu $m-2 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 2$
Khi đó, điều kiện là:
$\left[ \begin{array}{l}\Delta^'_g < 0\\\left\{ \begin{array}{l} \Delta^'_g = 0\\g(\frac{1}{2}) = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 2 < 0\\ \left\{ \begin{array}{l}m + 2 = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m\leq -2$
Vậy với $m\leq -2$ thỏa mãn điều kiện đề bài.