Trục đẳng phương

Question

Cho 3 đường tròn $\left ( O_{1} \right )$; $\left ( O_{2} \right )$; $\left ( O_{3} \right )$ đôi một cắt nhau và $O_{1}$; $O_{2}$; $O_{3}$ không thể thẳng hàng. $\left ( O_{1} \right )$$\cap$$\left ( O_{2} \right )$=$\left\{ {A; B} \right\}$; $\left ( O_{2} \right )$$\cap$$\left ( O_{3} \right )$=$\left\{ {C; D} \right\}$; $\left ( O_{1} \right )$$\cap$$\left ( O_{3} \right )$=$\left\{ {E; F} \right\}$. CM: AB; CD; EF đồng quy

giao điểm của AB và CD có cùng phương tích đối với (O1) và (O3) nên nó thuộc EF.
AB, CD, EF đồng quy tại tâm đẳng phương của 3 đường tròn :)

score 2 · Answer 1

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

Gọi $R_1,R_2,R_3$ lần lượt là bán kính của 3 đường tròn tâm $O_1.O_2,O_3$
Lây I là giao điển của AB và CD.
Vì $I\in AB$ là trục đẳng phương của ($O_1$),($O_2$) nên $IO_1^2-R_1^2=IO_2^2-R_2^2$

Vì $I\in CD$ là trục đẳng phương của ($O_2$),($O_3$) nên $IO_2^2-R_2^2=IO_3^2-R_3^2$
Vậy từ 2 điều trên => $IO_1^2-R_1^2=IO_3^2-R_3^2$
nên $I$ thuộc trục đẳng phương của ($O_1$),($O_3$) hay $I\in EF$
Vậy $AB,CD,EF$ đồng quy (ĐPCM)