Bài toán về sự tương giao.

Question

Cho hàm số: $y=x^4-2\left(2m+1\right)x^2+4m$ có đồ thị $(C).$ Tìm $m$ để $(C):$

   a) Cắt đường thẳng $y=3$ tại $4$ điểm phân biệt có hoành độ đều bé hơn $3.$
   b) Cắt đường thẳng $y =4m^2+3m-5$ tại $4$ điểm phân biệt có hoành độ đều bé hơn $2.$
   c) Cắt đường thẳng $y=m^2+2m$ tại $4$ điểm phân biệt $A,\,B,\,C,\,D$ sao cho:
      $c_1)\,\,\,AB=BC=CD$
      $c_2)\,\,\,x^4_A+x^4_B+x^4_C+x^4_D=30$

:D Em cũng xem lại rồi thấy đề khớp với bài đăng ạ.

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 2/15/2013 12:00:41 AM

c2) PT tương giao $x^4-2\left(2m+1\right)x^2+4m=m^2+2m \underbrace{\iff}_{t=x^2}t^2-2\left(2m+1\right)t-m^2+2m=0\quad (1)$
Ta có $\Delta' =(2m+1)^2+(m^2-2m)=5m^2+2m+1> 0 \quad \forall m.$
Như vậy để cắt tại bốn điểm phân biệt thì PT (1) cần có hai nghiệm dương phân biệt.
$\Leftrightarrow \begin{cases}S>0\\ P>0\\\Delta' >0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2m+1>0\\ m^2-2m<0\end{cases}\Leftrightarrow 2>m>0.$
Gọi $t_1<t_2$ là hai nghiệm của Pt (1) thì $x_A=-\sqrt{t_2},x_B=-\sqrt{t_1},x_C=\sqrt{t_1},x_D=\sqrt{t_2}$.
Như vậy điều kiện bài toán
$\Leftrightarrow 2(t_1^2+t_2^2)=30\Leftrightarrow (t_1+t_2)^2-2t_1t_2=15 \underbrace{\iff}_{Vi-et}4\left(2m+1\right)^2+2(m^2-2m)=15$
Giải PT và kết hợp điều kiện bên trên ta có $\boxed{m=\dfrac{\sqrt{26}-2}{6}}$.

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 2/14/2013 11:48:02 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

$c_1,$
Bài này có cách làm rất giống các bài sau đây. Em nhìn phương pháp và làm theo nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113699/ham-so-bac-4-cat-truc-hoanh-lap-thanh-cap-so-cong

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/115433/cap-so-cong

Trả lời 14-02-13 11:48 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 3 · 2/14/2013 11:42:25 PM

b) PT tương giao $x^4-2\left(2m+1\right)x^2+4m=4m^2+3m-5 \underbrace{\iff}_{t=x^2}t^2-2\left(2m+1\right)t-(4m^2-m-5)=0\quad (1)$
Ta có $\Delta' =(2m+1)^2+4m^2-m-5=8m^2+3m-4> 0.$
Như vậy để cắt tại bốn điểm phân biệt thì PT (1) cần có hai nghiệm dương phân biệt.
$\Leftrightarrow \begin{cases}S>0\\ P>0\\\Delta' >0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2m+1>0\\ 4m^2-m-5<0\\8m^2+3m-4> 0\end{cases}\Leftrightarrow \dfrac{1}{16}\left ( \sqrt{137}-3 \right )<m< \dfrac{5}{4}.$
Và ta cần thêm điều kiện $x< 2 \iff t<4.$
Tính trực tiếp theo công thức nghiệm
$t=2m+1 \pm \sqrt{8m^2+3m-4}$.
Tiếp đến chỉ cần nghiệm lớn hơn nhỏ hơn $4$, tức là
$2m+1 + \sqrt{8m^2+3m-4}<4\Leftrightarrow \sqrt{8m^2+3m-4}<3-2m$
$\Leftrightarrow \begin{cases}8m^2+3m-4<4m^2-12m+9 \\ \dfrac{1}{16}\left ( \sqrt{137}-3 \right )<m< \dfrac{5}{4} \end{cases}\Leftrightarrow \boxed{ \dfrac{1}{16}\left ( \sqrt{137}-3 \right )<m< \dfrac{1}{8}\left ( \sqrt{433}-15 \right )}.$

Trần Nhật Tân · Answer 4 · 2/14/2013 11:27:47 PM

a) PT tương giao $x^4-2\left(2m+1\right)x^2+4m-3=0 \underbrace{\iff}_{t=x^2}t^2-2\left(2m+1\right)t+4m-3=0\quad (1)$
Ta có $\Delta' =(2m+1)^2-(4m-3)=4m^2+4> 0 \quad \forall m.$
Như vậy để cắt tại bốn điểm phân biệt thì PT (1) cần có hai nghiệm dương phân biệt.
$\Leftrightarrow \begin{cases}S>0\\ P>0\\\Delta' >0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2m+1>0\\ 4m-3>0\end{cases}\Leftrightarrow m>3/4.$
Và ta cần thêm điều kiện $x< 3 \iff t<9.$
Đến đây có nhiều cách làm để tìm $m$ sao cho $t<9.$ Chẳng hạn có thể tính trực tiếp theo công thức nghiệm
$t=2m+1 \pm \sqrt{4m^2+4}$.
Tiếp đến chỉ cần nghiệm lớn hơn nhỏ hơn $9$, tức là
$2m+1 + \sqrt{4m^2+4}<9\Leftrightarrow \sqrt{4m^2+4}<8-2m\Leftrightarrow \sqrt{m^2+1}<4-m$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m^2+1<m^2-8m+16 \\ 4>m>3/4 \end{cases}\Leftrightarrow \boxed{15/8>m>3/4}.$