Ở bài tập này cần trang bị một số kiến thức sau :
+ Công thức Euler :
http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/111071/bai-111071
Để suy ra $R \ge 2r$, trong đó $R,r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp.
+ Công thức liên quan đến diện tích, ba cạnh, bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp.
$abc=4RS.$
+ Công thức liên quan đến diện tích,nửa chu vi $p$, bán kính đường tròn nội tiếp.
$S=pr.$
Bây giờ ta có
$2p =a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}=3\sqrt[3]{4RS}=3\sqrt[3]{4Rpr} \ge 3\sqrt[3]{8pr^2}$
$\Rightarrow 8p^3 \ge 27.8pr^2\Rightarrow r \le \frac{p}{3\sqrt 3}=3\sqrt 3$
Vậy chu vi đường tròn ngoại tiếp lớn nhất bằng $2\pi r=6\pi \sqrt 3\Leftrightarrow $ tam giác đó là tam giác đều.