Đây là dạng toán dùng phương pháp hữu tỉ hóa để tìm tích phânTrước hết ta sẽ biến đổi
$\frac{3x^3-4x+1}{x^2-4}$
$=\frac{3x^3-12x+8x+1}{x^2-4}$
$=3x+\frac{8x}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4}$
$=3x+\frac{8x}{x^2-4}+\frac{1}{4}(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2})$
Như vậy ta đã tách tích phân đã cho thành 3 tích phân đơn giản hơn
$\int\limits_{0}^{1}3xdx=3.\frac{x^2}{2}|_0^1=\frac{3}{2}$
$\int\limits_{0}^{1}\frac{8x}{x^2-4}dx=4\int\limits_{0}^{1}\frac{d(x^2-4)}{x^2-4}$
$=4.ln|x^2-4||_0^1=4(ln3-ln4)=4.ln\frac{3}{4}$
$\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{4}(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2})dx$
$=\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{x-2}-\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{x+2}$
$=\frac{1}{4}ln|x-2||_0^1-\frac{1}{4}ln|x+2||_0^1$
$=\frac{1}{4}(ln1-ln2)-\frac{1}{4}(ln3-ln2)$
$=\frac{1}{4}(ln1-ln3)$
$=-\frac{ln3}{4}$
Như vậy
$\int\limits_{0}^{1}\frac{3x^3-4x+1}{x^2-4}=\frac{3}{2}+4ln\frac{3}{4}-\frac{ln3}{4}$