đề thi đại học môn Toán – khối D 2014

Question

score 5 · Answer 1

Câu 9:

$P=\frac{x+2y}{x^2+3y+5}+\frac{y+2x}{y^2+3x+5}+\frac{1}{4(x+y-1)}$

$(x-1)(x-2)\leq 0\Rightarrow x^2\leq 3x-2$

Tương tự: $y^2\leq 3y-2$

$\Rightarrow P\geq \frac{x+2y}{3x+3y+3}+\frac{y+2x}{3x+3y+3}+\frac{1}{4(x+y-1)}=\frac{3(x+y)}{3(x+y+1)}+\frac{1}{4(x+y-1)}$

Đặt $t=x+y$ ; $2\leq t\leq 4$

$\Rightarrow P\geq \frac{t}{t+1}+\frac{1}{4(t-1)}=f(t)$

$f'(t)=\frac{(3t-1)(t-3)}{4(t+1)^2(t-1)^2}$

$f'(t)=0\Leftrightarrow t=3\Rightarrow f(t)\geq f(3)=\frac{7}{8}$ Do $2\leq t\leq 4$

Lập bảng biến thiên:

$f(2)=\frac{11}{12};f(4)=\frac{53}{60};f(3)=\frac{7}{8}$

Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases}x^2=3x-2 \\ y^2=3y-2 \\ x+y=3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x=1;y=2 \\ y=1;x=2\end{cases}$

score 3 · Answer 2

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Câu 1b.

Gọi $M(x_0;y_0)\in (C)$

Ta có: $y'(x_0)=3x_0^2-3=9\Leftrightarrow x_0=\pm 2$

Với $x_0=2\Rightarrow M(2;0)$

Với $x_0=-2\Rightarrow M(-2;-4)$

Vậy ta có $M_1(2;0)$ và $M_2(-2;-4)$ thỏa đề bài

score 4 · Answer 3

Câu 8.

Đk: $x\geq -2$

Pt $\Leftrightarrow (x+1)(\sqrt{x+2}-2)+(x+6)(\sqrt{x+7}-3)-(x^2+2x-8)\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{(x+1)(x-2)}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{(x+6)(x-2)}{\sqrt{x+7}+3}-(x-2)(x+4)\geq 0$

$\Leftrightarrow (x-2)(\frac{x+1}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{x+6}{\sqrt{x+7}+3}-x-4)\geq 0$ $(*)$

Xét $f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{x+6}{\sqrt{x+7}+3}-x-4$ trên $[-2;+\infty) $

Với $-2\leq x\leq -1$

Ta có: $-\frac{1}{3}\leq \frac{x+1}{\sqrt{x+2}+2}\leq 0$ và $\frac{4}{\sqrt{6}+3}\leq \frac{x+6}{\sqrt{x+2}+2}\leq \frac{5}{\sqrt{5}+3}$ và $2\leq x+4\leq 3$

$\Rightarrow f(x)\leq 0+\frac{5}{\sqrt{5}+3}-2<0$

Với $x\geq -1$

Ta có: $\frac{x+1}{\sqrt{x+2}+2}\leq \frac{x+1}{3}$ và $\frac{x+6}{\sqrt{x+7}+3}\leq \frac{x+6}{3+\sqrt{6}}$

$\Rightarrow f(x)\leq \frac{x+1}{3}+\frac{x+6}{3+\sqrt{6}}-x-4$

Xét $g(x)= \frac{x+1}{3}+\frac{x+6}{3+\sqrt{6}}-x-4$ trên $[-1;+\infty )$

$g'(x)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3+\sqrt{6}}-1<0,\forall x\in [-1;+\infty ) $

$\Rightarrow $Hàm số nghịch biến trên $[-1;+\infty )$

$g(x)\leq g(-1)=\frac{5}{3+\sqrt{6}}-3<0\Rightarrow f(x)\leq g(x)<0\forall x\in [-2;+\infty )$

$\Rightarrow (Shift8)\Leftrightarrow x-2\leq 0\Leftrightarrow x\leq 2$

Kết hợp với đk ta được: $-2\leq x\leq 2$

C2:

Ta có: $\frac{x+1}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{x+6}{\sqrt{x+7}+3}<\frac{x+1}{2}+\frac{x+6}{3}=\frac{5x+15}{6}=x+4-\frac{x+9}{6}<x+4,\forall x\geq -2$

Vậy $(*)\Leftrightarrow x-2\leq 0\Leftrightarrow x\leq 2$. Kết hợp với điều kiện suy ra: $-2\leq x\leq 2$

Đức Vỹ · Answer 4 · 7/9/2014 1:48:42 PM

Câu $7$
$A(1,3)$
Phương trình $AI : 2x-y+1=0$
Gọi $I(a, 2a+1)$
Phương trình $AD : x=1$. gọi $M (1, b)$
Ta có :
$AI^2= MI^2$
$\Rightarrow 5(a-1)^2=(a-1)^2+(2a-b+1)^2$
$\Leftrightarrow (2a-2)^2=(2a-b+1)^2$
$\Leftrightarrow b=3$ và $b=1-4a$
Với $b=3$ loại do trùng A
với $b=1-4a\Rightarrow M (1, 1-4a)$
Gọi K là điểm đối xứng với $A$ qua $I\Rightarrow K (2a-1, 4a-1)$
Dễ thấy : $AM\bot MK$
$\underset{AM}{\rightarrow} = (0, -4a-2)$
$\underset{MK}{\rightarrow} =(2a-2, 8a-2)$
$\Rightarrow (4a+2)(8a-2)=0$
$\Leftrightarrow (2a+1)(4a-1)=0$
$\Leftrightarrow 8a^2+2a-1=0$
$\Leftrightarrow a=\frac{1}{4} $ và $a=-\frac{1}{2} $
với $a=\frac{1}{4}\Rightarrow m(1,0) \Rightarrow I (\frac{1}{4}, \frac{3}{2} )$
Với $a=-\frac{1}{2} \Rightarrow m(1,3)$ (loại do trùng với $A$)
$\underset{IM}{\rightarrow} =(\frac{3}{4} , \frac{3}{2} )=(1, -2)$
Phương trình BC qua D vuông góc với MI $\Rightarrow $ có phương trình :
$x-1-2(y+1)=0$
$\Rightarrow x-2y-3=0$

Đức Vỹ · Answer 5 · 7/9/2014 1:37:36 PM

Câu $6$
Từ S kẻ $SH\bot BC$ tại $H\Rightarrow SH\bot (ABC)$
Có : $SH=\sqrt{a^2-\frac{a}{4} }-\frac{a}{2} \sqrt{3} $
Có tam giác ABC vuông cân tại $A$
$\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2$
$\Leftrightarrow 2AB^2=BC^2=a^2$
$\Leftrightarrow AB=\frac{a}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} a}{2} $
$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2} AB.AC=\frac{1}{2} .\frac{a^2}{2} =\frac{a^2}{4} $
$\Rightarrow V_{ABC}=\frac{1}{3} SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3} }{2} .\frac{a^2}{4} =\frac{a^3\sqrt{3} }{24} $
Ta có : $BC\bot (SAH)$
từ H kẻ HK vuông góc với $SA$ tại K. Khi đó HK là đường vuông góc chung của SA và BC. Tam giác SHA vuông tại H.
$\Rightarrow \frac{1}{HK^2}=\frac{1}{SH^2}+\frac{1}{HA^2} $
$\Leftrightarrow \frac{1}{HK^2}=\frac{1}{\frac{3a^2}{4} }+\frac{1}{\frac{a^2}{4} } =\frac{4}{4a^2}+\frac{4}{a^2}=\frac{16}{3a^2} $
$\Rightarrow HK^2=\frac{3a^2}{16}\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{3} }{4} $
$\Rightarrow d(SA, BC)=\frac{a\sqrt{3} }{4} $

Đức Vỹ · Answer 6 · 7/9/2014 11:59:03 AM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

câu $4$
a) $\log_2 (x-1)-2\log_4 (3x-2)+2=0$
đk : $x>1$
lúc đó phương trình có dạng :
$\log_2 (x-1)-2\log_{2^2}(3x-2)+2=0$
$\Leftrightarrow \log_2(x-1)-\log_2(3x-2)+2=0$
$\Leftrightarrow \log_2 \frac{x-1}{3x-2}=-2 $
$\Leftrightarrow \frac{x-1}{3x-2}=\frac{1}{4} $
$\Leftrightarrow 4x-4=3x-2$
$\Leftrightarrow x=2$ thỏa mãn điều kiện
Vậy $x=2$

b) Ta có số đường thẳng tạo bởi $n$ đỉnh là $C^2_n$
Số đường chéo trong đa giác đều $n$ đỉnh là : $C^2_n -n$ theo giả thiết ta có :
$C^2_n -n=27$
$\Leftrightarrow \frac{n!}{2!(n-2)!} -n=27$
$\Leftrightarrow n(n-1)-2n=54$
$\Leftrightarrow n^2-3n-54=0$
$n=9$ thỏa mãn và $n=-6$ loại
Vậy $n=9$

lịch sử

Trả lời 09-07-14 11:59 AM

Đức Vỹ
36 1

137K 747K

Đức Vỹ · Answer 7 · 7/9/2014 11:39:35 AM

câu $5$
Mặt cầu $(S)$ có tậm $I(3,2,1)$ và bán kính $R=\sqrt{3^2+2^2+1^2+11}=5 $
Mặt phẳng $(P)$ có véc tơ pháp tuyến $\underset{n}{\rightarrow} =(6,3,-2)$
Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(P): d(I, (P))=\frac{|6.3+3.2-2.1-1|}{\sqrt{6^2+3^2+(-2)^2} } =3$
Vì $d(I,(P))<R$ nên mặt cầu $(S)$ cắt $(P)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$.
Gọi $J$ là tâm đường tròn $(C)$, ta có $J$ là hình chiếu của $I$ trên $(P)$.
Đường thẳng $IJ$ qua $I(3,2,1)$ và vuông góc $(P)$ nên nhận $\underset{n}{\rightarrow} =(6,3,-2)$ làm véc tơ chỉ phương.
Phương trình chính tắc của IJ là : $\begin{cases}x=6+3t\\y=2+3t\\z=1-2t \end{cases} $
Tọa độ $J$ là nghiệm hệ phương trình : $\begin{cases} 6x+3y-2z-1=0\\ x=6+3t\\y=2+3t\\z=1-2t\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=\frac{3}{7}\\ y=\frac{5}{7} \\ z=\frac{13}{7} \end{cases} $
Vậy tâm đường tròn $(C)$ cần tìm là : $J(\frac{3}{7}, \frac{5}{7}, \frac{13}{7} )$

Đức Vỹ · Answer 8 · 7/9/2014 11:32:12 AM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Câu $3$
$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }(x+1)\sin 2x dx $
Đặt :
$\begin{cases}u=x+1\\ \sin 2x dx = dv \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=dx\\ v=\frac{-\cos 2x}{2} \end{cases} $
$I=(x+1).(\frac{-\cos 2x}{2} )$ cận từ $0$ đến $\frac{\pi}{4} + \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} } \frac{\cos 2x}{2} dx$
$I= 0+\frac{1}{2}+\frac{\sin 2x}{4} $ cận từ $0$ đến $\frac{\pi}{4} =\frac{1}{2} +\frac{1}{4} =\frac{3}{4} $

Trả lời 09-07-14 11:32 AM

Đức Vỹ
36 1

137K 747K

Đức Vỹ · Answer 9 · 7/9/2014 11:21:35 AM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Câu $2$
$(3z-\overline{z} )(1+i)-5z=8i-1$
+) $z=a+bi(a,b \in R)$
$\Rightarrow \overline{z} =a-bi$

+ Lúc đó, phưởng trình đã cho có dạng :
$(3a+3bi-a+bi)(1+i)-5(a+bi)=8i-1$
$\Leftrightarrow (2a+4bi)(1+i)-5(a+bi)=8i-1$
$\Leftrightarrow 2a+2ai+4bi-4b-5a-5b=8i-1$
$\Leftrightarrow 2ai-bi-3a-4b=8i-1$
$\Leftrightarrow i(2a-b)-(3a+4b)=8i-1$
$\Leftrightarrow \begin{cases}2a-b=8\\ -3a-4b=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=3\\ b=2 \end{cases} $
$\Rightarrow z=3-2i$
$|z|=\sqrt{3^2+(-2)^2} =\sqrt{13} $

Trả lời 09-07-14 11:21 AM

Đức Vỹ
36 1

137K 747K

Đức Vỹ · Answer 10 · 7/9/2014 2:15:28 PM

Câu $8$
Điều kiện $x\geq -2$
$(x+1)\sqrt{x+2}+(x+6)\sqrt{x+7}\geq x^2+7x+12 $
$\Leftrightarrow (x+1)(\sqrt{x+2}-2 )+(x+6)(\sqrt{x+7}-3 )\geq x^2+2x-8$
$\Leftrightarrow \frac{(x+1)(x-2)}{\sqrt{x+2}+2 }+\frac{(x+6)(x-2)}{\sqrt{x+7}+3 }\geq (x-2)(x+4)$
$\Leftrightarrow (x-2)[\frac{x+1}{\sqrt{x+2}+2 }+\frac{x+6}{\sqrt{x+7}+3 } -(x+4)]\geq 0 $ $(*)$

+ Với $-2\leq x\leq -1$ thì
$\begin{cases} \frac{x+1}{\sqrt{x+2}+2 }+\frac{x+6}{\sqrt{x+7}+3 } <0 + \frac{5}{3}=\frac{5}{3}\\ x+4\geq 2\end{cases} \Rightarrow \frac{x+1}{\sqrt{x+2}+2 }+\frac{x+6}{\sqrt{x+7}+3 }-(x+4)<0 $

+ với $-1<x$ thì :
$\frac{x+1}{\sqrt{x+2}+2 } +\frac{x+6}{\sqrt{x+7}+3 } < \frac{x+1}{2}+\frac{x+6}{3}=\frac{5x+15}{6} <x+4 $
$\Rightarrow \frac{x+1}{\sqrt{x+2} +2} +\frac{x+6}{\sqrt{x+7}+3 } -(x+4)<0$
$\Rightarrow (*)\Leftrightarrow x-2\leq 0\Leftrightarrow x\leq 2$
Kết hợp với điều kiện $\Rightarrow $ tập nghiệm của BPT là : $[-2; 2]$