Sơ bộ là bất kỳ số nguyên dương nào $>3$ thì bình phương nó cũng chia cho $3$ dư $1$ ( chứng minh dễ dàng )
Giả sử $x;\ y;\ z \ne 3 \Rightarrow xyz=x^2 +y^2 +z^2 \vdots \ 3 \Rightarrow xyz \ \vdots \ 3$ vô lý vì $x;\ y;\ z$ nguyên tố mà $\ne 3$
Do đó phải có $1$ trong 3 số bằng $3$. Giả sử $z=3$
$\Rightarrow 3xy = x^2+y^2+9 \Rightarrow x^2 +y^2 \ \vdots \ 3 \Rightarrow xy \ \vdots \ 3$ biện luận tương tự ta có nghiệm duy nhất $(x;\ y;\ z) = (3;\ 3;\ 3)$