Gọi tam giác đó là $ABC, BC=a;CA=b;AB=c$
ta có $\frac12(a+b+c).r=S=\frac 12ah$ không đổi=> $r$$max$$\Leftrightarrow (b+c)$$min$
Kẻ AH vuông góc BC.
Đặt $BH=x => CH=a-x$
=> $AB+AC=\sqrt{h^2+x^2}+\sqrt{h^2+(a-x)^2}\geq \sqrt{(h+h)^2+(x+a-x)^2}=\sqrt{4h^2+a^2}$
Dấu bằng $\Leftrightarrow x=a-x$
hay tam giác ABC cân tại A