với mọi $x,y\in R/x+y\geq 1 và 3y-2x\geq 0$ ta luôn có $(x+3y-2)-(5y-3x)=(y^{2}+4x-1)-(y+1)^{2}$
$\Leftrightarrow 3^{(x+3y-2)-(5y-3x)}=3^{(y^{2}+4x-1)-(y+1)^{2}}$
$\Leftrightarrow \frac{3^{x+3y-2}}{2.3^{5y-3x}}=\frac{3^{y^{2}+4x-1}}{2.3^{(y+1)^{2}}}\Leftrightarrow \frac{3^{x+3y-2}}{2.3^{y^{2}+4x-1}}=\frac{3^{5y-3x}}{2.3^{(y+1)^{2}}}(*) $
từ pt (1) ta suy ra
$\frac{3^{x+3y-2}}{2.3^{y^{2}+4x-1}}+1=\frac{3^{5y-3x}}{2.3^{y^{2}+4x-1}}+\frac{3^{(y+1)^{2}}}{3^{y^{2}+4x-1}}$
$\Leftrightarrow \frac{3^{5y-3x}}{2.3^{(y+1)^{2}}}+1=\frac{3^{5y-3x}}{2.3^{y^{2}+4x-1}}+\frac{3^{(y+1)^{2}}}{3^{y^{2}+4x-1}}$
$\Leftrightarrow \frac{3^{5y-3x}}{2}(\frac{1}{3^{(y+1)^{2}}}-\frac{1}{3^{y^{2}+4x-1}})=\frac{3^{(y+1)^{2}}}{3^{y^{2}+4x-1}}-1$
$\Rightarrow 3^{(y+1)^{2}}=3^{y^{2}+4x-1}$
$\Leftrightarrow 2x-y-1=0\Leftrightarrow y=2x-1$ thay vào pt (2) của hệ ta được
$3\sqrt[3]{4x-3}-2\sqrt{3x-2}-1=0$ (với x $\geq \frac{2}{3}$ )
đặt $\sqrt[3]{4x-3}=a$ ; $\sqrt{3x-2}=b(b\geq 0)$
ta có hệ $\begin{cases}3a^{3}-4b^{2}+1=0 \\ 3a-2b=1 \end{cases}$
hệ này dễ dàng giải được bằng phương pháp thế. bạn tự trình bày phần còn lại.