Câu cuối đề thi thử THPT Quốc Gia lần I ( Nghệ An)

Question

Cho

$x,y$ là hai số thực dương thỏa mãn :

$2x+3y \leq 7$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$P=2xy+y+\sqrt{5(x^{2}+y^{2})}-24\sqrt[3]{8(x+y)-(x^{2}+y^{2}+3)}$

Confusion · Answer 1 · 7/1/2016 6:33:52 PM

Ta có:

$5(x^2+y^2)\geq (2x+y)^2\Leftrightarrow \sqrt{5(x^2+y^2)}\geq 2x+y$

mà:

$x^2+y^2+9+2(xy-3x-3y)=(x+y-3)^2\geq 0\Leftrightarrow 2(x+y+xy+3)\geq 8(x+y)-(x^2+y^2+3)$

Lại có:

$6(x+1)(y+1)=(2x+2)(3y+3)\leq (\frac{2x+2+3y+3}{2})^2\leq 6^2=36$

$\rightarrow x+y+xy\leq 5$

Suy ra:

$P\geq 2(x+y+xy)-24\sqrt[3]{2(x+y+xy+3)}$

Đặt

$t=x+y+xy\rightarrow t\in (0;5]$

$\rightarrow P\geq f(t)=2t-24\sqrt[3]{2t+6}$

Xét

$f'(t)=.......<0$

$\rightarrow min f(t)=f(5)$

$\rightarrow .............$

1 Đáp án