Rất ít khi up hình [đang ẩn]

Question

Chứng minh rằng với

$h_{a},h_{b},h_{c},I_{a},l_{b},l_{c}$ lần lượt là 3 đường cao và 3 phân giác .

$r,R$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp , ngoại tiếp của tam giác

$ABC$ .
Chứng minh rằng :

$\frac{h^{2}_{a}}{l^{2}_{a}}+\frac{h^{2}_{b}}{l^{2}_{b}}+\frac{h^{2}_{c}}{l^{2}_{c}} \geq \frac{6r}{R}$

bn có sách nào hay cho mình tk ké vs, đang chán lắm đây!
phát triển từ bài số 5 quyển "tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán : hệ thức lượng trong tam giác " trang 114 của bác Trần Phương...

score 11 · Answer 1

đầu tiên mọi người chứng minh cái này (chắc dễ rồi ạ):

$l_{a}^{2}=\frac{4bc}{(b+c)^{2}}.{p.(p-a)}\leq {p.(p-a)}$ theo BĐT côsi

Suy ra:

$\frac{h_{a}}{l_{a}}+\frac{h_{b}}{l_{b}}+\frac{h_{c}}{l_{c}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{h_{a}.h_{b}.h_{c}}{l_{a}.l_{b}.l_{c}}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\frac{8S^{3}}{abc}}{p.\sqrt{p.(p-a)(p-b)(p-c)}}}$

$\geq3 \sqrt[3]{\frac{8S^{2}}{p.abc}}=3\sqrt[3]{\frac{8.abc.pr}{4R.p}}=3\sqrt[3]{\frac{2r}{R}}$

lại thấy $2r\leq R$ nên $\frac{2r}{R}\leq 1$

suy ra: $\sqrt[3]{\frac{2r}{R}}\geq \sqrt{\frac{2r}{R}}$

vậy $\frac{h_{a}}{l_{a}}+\frac{h_{b}}{l_{b}}+\frac{h_{c}}{l_{c}}\geq 3\sqrt{\frac{2r}{R}}$

từ kết quả trên ta có $(\frac{h_{a}}{l_{a}})^{2}+(\frac{h_{b}}{l_{b}})^{2}+(\frac{h_{c}}{l_{c}})^{2}\geq \frac{1}{3}(\frac{h_{a}}{l_{a}}+\frac{h_{b}}{l_{b}}+\frac{h_{c}}{l_{c}})^{2}\geq \frac{6r}{R}$