Từ giả thiết : $3xyz=x^2+y^2+z^2 \ge 3\sqrt[3]{(xyz)^2}\Leftrightarrow xyz \ge 1$(1)Lại có $x^2+y^2+z^2 \ge (x+y+z).\frac{x+y+z}3 \ge x+y+z.\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{3} \ge x+y+z$(2)
Và $x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx$(3)
~~~~
$P \ge 3\sqrt[3]{\frac{xyz}{(x+1)(y+1)(z+1)}}$
Ta cần chỉ ra $3\sqrt[3]{\frac{xyz}{(x+1)(y+1)(z+1)}} \ge \frac 32\Leftrightarrow 8xyz \ge (x+1)(y+1)(z+1)$
$\Leftrightarrow 8xyz \ge xyz+(x+y+z)+(xy+yz+zx)+1$
$\Leftrightarrow (x^2+y^2+z^2)+(x^2+y^2+z^2)+xyz \ge (xy+yz+zx) +(x+y+z)+1$
Bđt trên hiển nhiên đúng từ (1),(2),(3)
Vậy $P \ge \frac 32$ và dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$