Theo công thức Hê-rông$S=\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{16}} \overset{(1)}{\le} \tfrac{\sqrt{(a+b+c)abc}}{4}\overset{(2)}{\le} \tfrac{ab+bc+ca}{4\sqrt 3}$
Nên ta chỉ cần chứng minh
$xa^2+yb^2+zc^2 \ge \sqrt{xy+yz+zx}.\frac{ab+bc+ca}{\sqrt3}$
$\Leftrightarrow 3(xa^2+yb^2+zc^2) \ge \sqrt{3(xy+yz+zx)}.(ab+bc+ca)$
Ko mất tính tổng quát giả sử $x \ge y \ge z;a \ge b \ge c$
Theo bdt Chebysev:
$VT \ge (x+y+z)(a^2+b^2+c^2) \ge VP$
Vậy bđt đc chứng minh, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x=y=z \\ a=b=c \end{cases}$
~~~~~~~~~~~~~~~