Bài 100184

Question

Trong không gian toạ độ cho đường thẳng $d: \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{ - 1} $ và mặt phẳng $(P): x + y + z + 2 = 0$. Gọi $M$ là giao điểm của $d$ và $(P)$. Viết phương trình đường thẳng $ \Delta $ nằm trong mặt phẳng $(P)$, vuông góc với $d$ đồng thời thoả mãn khoảng cách từ $M$ tới $ \Delta $ bằng $ \sqrt {42} $ .

score 0 · Answer 1

Ta có phương trình tham số của d là: $ \left\{ \begin{array}{l}
x = 3 + 2t\\
y =- 2 + t\\
z =- 1 - t
\end{array} \right. $.
Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ: $ \left\{ \begin{array}{l}
x = 3 + 2t\\
y = - 2 + t\\
z = - 1 - t\\
x + y + z + 2 = 0
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow M(1; - 3;0) $

Lại có VTPT của (P) là $ \overrightarrow {{n_P}}= (1;1;1) $ , VTCP của d là $ \overrightarrow {{u_d}} =(2;1; - 1) $ .

Vì $ \Delta $ nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP $ \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = (2; - 3;1) $

Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên $ \Delta $ , khi đó $ \overrightarrow {MN} (x - 1;y + 3;z) $ .

Ta có $ \overrightarrow {MN} $ vuông góc với $ \overrightarrow {{u_\Delta }} $ nên $ \overrightarrow {MN} . \overrightarrow {u_\triangle} =0\Rightarrow 2x – 3y + z – 11 = 0 $.

Lại có N $ \in $ (P) và MN = $ \sqrt {42} $ nên ta có hệ: $ \left\{ \begin{array}{l}
x + y + z + 2 = 0\\
2x - 3y + z - 11 = 0\\
{(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {z^2} = 42
\end{array} \right. $

Giải hệ (bạn có thể đặt $x-1=u, y+3=v$ để dễ làm hơn) ta tìm được hai điểm
$N_1(5; - 2; - 5)$ hoặc $N_2(- 3; - 4; 5)$

Nếu $N_1$(5; -2; -5) ta có pt $ \Delta :\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 5}}{1} $

Nếu $N_2($-3; -4; 5) ta có pt $ \Delta :\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{{ - 3}} = \frac{{z - 5}}{1} $

Bài 100184

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100184

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan