|
|
$1$) $ a, b, c$ là $3$ cạnh của tam giác vuông nên ${a^2} + {b^2} = {c^2},\,suy\,ra\,x = 2$ là nghiệm của phương trình ${a^x} + {b^x} = {c^x}\,\,\,(1)$
Ta có:
${a^x} + {b^x} = {c^x}$$\Leftrightarrow$ ${\left( {\frac{a}{c}} \right)^x} + {\left( {\frac{b}{c}} \right)^x} - 1=0 \forall c\neq 0$
Xét hàm số
$f(x) = {\left( {\frac{a}{c}} \right)^x} + {\left( {\frac{b}{c}} \right)^x} - 1$. Do $\frac{a}{c}$,
$\frac{b}{c}<1$ nên ${(\frac{a}{c}})^{x}$, ${\left( {\frac{b}{c}} \right)^x} là $ hàm các hàm số nghịch biến. Suy ra $f(x) = {\left( {\frac{a}{c}} \right)^x} + {\left( {\frac{b}{c}} \right)^x} - 1$ ngịch biến trên R. Vậy $x = 2$ là nghiệm duy nhất.
$2$) Đặt $t = 2x\,\,\,ta\,có\,\,{a^{2x}} + {b^{2x}} = {c^{2x}} \Leftrightarrow \,{a^t} + {b^t} = {c^t}$ có một nghiệm duy nhất
$t=2 $(theo câu $1$), suy ra $2x = 2 \Leftrightarrow x = 1$ phương trình ${a^{2x}} + {b^{2x}} = {c^{2x}}\,$ có nghiệm duy nhất $x = 1$
|