|
|
Ta có: $ {\rm{y}}'{\rm{ }} = {\rm{ }}-{\rm{ 3}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {\rm{ 2mx}} $
(Cm) qua $ (x, y), \forall m$
$ \Leftrightarrow {\rm{y }} + {\rm{ }}{{\rm{x}}^{\rm{3}}} = {\rm{ m }}\left( {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}-{\rm{ 1}}} \right),\forall m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 1 = 0\\
y + {x^3} = 0
\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = - 1
\end{array} \right.\,\,\,\,hay \,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
y = 1
\end{array} \right. $
Vậy (Cm) qua 2 điểm cố định là H(1, –1) và K(–1, 1).
Vì $ {\rm{y}}'{\rm{ }} = {\rm{ }}-{\rm{ 3}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {\rm{ 2mx}} $ nên tiếp tuyến với (Cm) tại H và K có hệ số góc lần lượt là:
$ {{\rm{a}}_{\rm{1}}} = {\rm{ y}}'\left( {\rm{1}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}-{\rm{ 3 }} + {\rm{ 2m}} $ và $ {{\rm{a}}_{\rm{2}}} = {\rm{ y}}'\left( {-{\rm{1}}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}-{\rm{3 }}-{\rm{ 2m}} $.
2 tiếp tuyến tại H và K vuông góc nhau $ \Leftrightarrow {{\rm{a}}_{\rm{1}}}.{{\rm{a}}_{\rm{2}}} = {\rm{ }}-{\rm{ 1}} \Leftrightarrow {\rm{9 }}-{\rm{ 4}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}} = {\rm{ }}-{\rm{ 1}} \Leftrightarrow {\rm{m }} = \frac{{ \pm \sqrt {10} }}{2} $
|