|
|
$1)$ Ta có: ${\left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right)^2} = \log _a^2b + \log _b^2a + 2\,\,\,\,\,(1)$
Áp dụng bất đẳng thức côsi:
$\log _a^2b + \log _b^2a \ge 2\sqrt {\log _a^2b\,.\,\log _b^2a} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\begin{array}{l}
{\left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right)^2} \ge 4\\
\Rightarrow \left| {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right| \ge 2
\end{array}$
Dấu bằng xảy ra khi $\log _a^2b = \log _b^2a = 1$ do đó khi $a = b$ hoặc $a = \frac{1}{b}$
$2)$ Ta có $\frac{1}{{{{\log }_2}\pi }} + \frac{1}{{{{\log }_{9/2}}\pi }} = {\log _\pi }2 + {\log _\pi }9/2 = {\log _\pi }2.\frac{9}{2} = {\log _\pi }9 = {\log _\pi }{3^2} = 2{\log _\pi }3$
Vì $3 < \pi \Rightarrow {\log _\pi }3 < {\log _\pi }\pi = 1 \Rightarrow 2{\log _\pi }3 < 2$
Vậy $\frac{1}{{{{\log }_2}\pi }} + \frac{1}{{{{\log }_{9/2}}\pi }} < 2$
|