Bài 100671

Question

Cho $
a,b,c \in R, d\in \left ( a,+\infty \right ).
$Hãy chứng minh:
1/$
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca
$
2/$
\left ( ab+bc+ca\right )^{2}\geq 3abc\left ( a+b+c\right )
$
3/$
\left ( d+1\right )^{2}\left ( \frac{1}{d^{2}}+\frac{2}{d}+1 \right )\geq 16
$

score 0 · Answer 1

1/$
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca
$
$
\Leftrightarrow 2\left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}\right )\geq 2\left ( ab+bc+ca \right )
$
$
\Leftrightarrow \left ( a^{2}+b^{2}-2ab \right )+ \left ( b^{2}+c^{2}-2bc \right ) + \left ( c^{2}+a^{2}-2ca \right ) \geq 0
$
$
\Leftrightarrow \left ( a-b\right )^{2} + \left ( b-c\right )^{2} + \left ( c-a\right )^{2} \geq 0
$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng, vậy bài toán được chứng minh.
2/Áp dụng 1/ ta có:
$
\left ( ab+bc+ca \right )^{2} = \left (ab \right )^{2}+ \left (bc \right )^{2} + \left (ca \right )^{2} +2abc\left ( a+b+c \right )
$
$
\geq ab.bc+bc.ca+ca.ab+2.abc\left ( a+b+c \right )
$
$
= 3abc\left ( a+b+c \right )
$
3/Ta có: $
\left ( d+1 \right )^{2}\left ( \frac{1}{d^{2}}+\frac{2}{d}+1 \right )\geq 16
$
$
\Leftrightarrow \left ( d+1 \right )^{2}\left ( \frac{1}{d}+1 \right )^{2} \geq 16
$

$
\Leftrightarrow \left ( d+1 \right )^{4} \geq 16d^2
$
Mà $(d+1)^4=[(d+1)^2]^2\geq(4d)^2=16d^2$
$
\Rightarrow
$(ĐPCM)

Bài 100671

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100671

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan