Bài 100866

Question

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc $Oxy$ , một tam giác $ABC$ vuông tại $A$, phương trình đường thẳng $BC$ là: $\sqrt 3x-y-\sqrt 3=0$, các đỉnh $A$ và $B$ thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ bằng $2$. Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

score 0 · Answer 1

Tọa độ điểm B là nghiệm của HPT: $ \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt 3 x - y - \sqrt 3 = 0\\
y = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 0
\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1;0} \right) $
Ta nhận thấy đường thẳng BC có hệ số góc $k=\sqrt 3 \Rightarrow \widehat{ABC} = {60^0} $ .
Suy ra đường phân giác trong Bx của tam giác ABC có hệ số góc $k'= \frac{{\sqrt 3 }}{3} do \widehat{ABx}=30^0$
nên có PT : $ y = \frac{{\sqrt 3 }}{3}x - \frac{{\sqrt 3 }}{3} $ (Ä)

Tâm I( a ;b) của đường tròn nội tiếp tam giác ABC thuộc (Ä) và cách trục Ox một khoảng bằng 2 nên: |b| = 2.

+ Với b = 2 : ta có a = $ 1 + 2\sqrt 3 $ , suy ra I=( $ 1 + 2\sqrt 3 $ ; 2 )
+ Với b = -2 ta có a = $ 1 - 2\sqrt 3 $ , suy ra I = ( $ 1 - 2\sqrt 3 $ ; -2)

Đường phân giác trong góc A có dạng: y = -x + m (Ä’). Vì nó đi qua I nên
+ Nếu I=( $ 1 + 2\sqrt 3 $ ; 2 ) thì m = 3 + 2 $ \sqrt 3 $ .
Suy ra : (Ä’) : y = -x + 3 + 2 $ \sqrt 3 $ . Khi đó (Ä’) cắt Ox ở A(3 + 2 $ \sqrt 3 $ . ; 0)
Do AC vuông góc với Ox nên có PT : x = 3 + 2 $ \sqrt 3 $ .
Từ đó suy ra tọa độ điểm C = (3 + 2 $ \sqrt 3 $ ; 6 + 2 $ \sqrt 3 $ )
Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC lúc này là : $ \left( {\frac{{4 + 4\sqrt 3 }}{3};\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right) $ .
+ Nếu I=( $ 1 - 2\sqrt 3 $ ; 2 ) thì m = -1 - 2 $ \sqrt 3 $ .
Suy ra (Ä’): y = - x -1 - 2 $ \sqrt 3 $. Khi đó (Ä’) cắt Ox ở A(-1 - 2 $ \sqrt 3 $ . ; 0)
Do AC vuông góc với Ox nên có PT : x = -1 - 2 $ \sqrt 3 $ .
Từ đó suy ra tọa độ điểm C = (-1 - 2 $ \sqrt 3 $ ; -6 - 2 $ \sqrt 3 $ )
Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC lúc này là : $ \left( {\frac{{ - 1 - 4\sqrt 3 }}{3}; - \frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right) $ .
Vậy có hai tam giác ABC thoả mãn đề bài và trọng tâm của nó là :
$G_1 = \left( {\frac{{4 + 4\sqrt 3 }}{3};\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right) $ và $G_2 = \left( {\frac{{ - 1 - 4\sqrt 3 }}{3}; - \frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right) $

Bài 100866

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100866

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan