Bài 100866

Question

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc

$Oxy$ , một tam giác

$ABC$ vuông tại

$A$ , phương trình đường thẳng

$BC$ là:

$\sqrt 3x-y-\sqrt 3=0$ , các đỉnh

$A$ và

$B$ thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

$ABC$ bằng

$2$ . Tìm tọa độ trọng tâm

$G$ của tam giác

$ABC$ .

score 0 · Answer 1

Tọa độ điểm B là nghiệm của HPT:

$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt 3 x - y - \sqrt 3 = 0\\ y = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 0 \end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1;0} \right)$
Ta nhận thấy đường thẳng BC có hệ số góc

$k=\sqrt 3 \Rightarrow \widehat{ABC} = {60^0}$ .
Suy ra đường phân giác trong Bx của tam giác ABC có hệ số góc

$k'= \frac{{\sqrt 3 }}{3} do \widehat{ABx}=30^0$
nên có PT :

$y = \frac{{\sqrt 3 }}{3}x - \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ (Ä)

Tâm I( a ;b) của đường tròn nội tiếp tam giác ABC thuộc (Ä) và cách trục Ox một khoảng bằng 2 nên: |b| = 2.

+ Với b = 2 : ta có a =

$1 + 2\sqrt 3$ , suy ra I=(

$1 + 2\sqrt 3$ ; 2 )
+ Với b = -2 ta có a =

$1 - 2\sqrt 3$ , suy ra I = (

$1 - 2\sqrt 3$ ; -2)

Đường phân giác trong góc A có dạng: y = -x + m (Ä’). Vì nó đi qua I nên
+ Nếu I=(

$1 + 2\sqrt 3$ ; 2 ) thì m = 3 + 2

$\sqrt 3$ .
Suy ra : (Ä’) : y = -x + 3 + 2

$\sqrt 3$ . Khi đó (Ä’) cắt Ox ở A(3 + 2

$\sqrt 3$ . ; 0)
Do AC vuông góc với Ox nên có PT : x = 3 + 2

$\sqrt 3$ .
Từ đó suy ra tọa độ điểm C = (3 + 2

$\sqrt 3$ ; 6 + 2

$\sqrt 3$ )
Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC lúc này là :