Bài 101239

Question

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình là:
$(S):x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 6z + 5 = 0 ;(P):2x + 2y - z + 16 = 0$.
Điểm $M$ di động trên $(S)$ và điểm $N$ di động trên $(P)$. Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN$. Xác định vị trí của $M, N$ tương ứng.

score 0 · Answer 1

Mặt cầu (S) tâm I(2;-1;3) và có bán kính R = 3.
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): $d = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 2.\left( { - 1} \right) - 3 + 16} \right|}}{3} = 5 \Rightarrow d > R$.
Do đó (P) và (S) không có điểm chung.Do vậy, min MN = d -R = 5 -3 = 2.
Trong trường hợp này, M ở vị trí M0 và N ở vị trí N0.
Dễ thấy $N_0$ là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P) và $M_0$ là giao điểm của đoạn thẳng $IN_0$ với mặt cầu (S).
Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với (P), thì N0 là giao điểm của $\Delta $ và (P).
Đường thẳng $\Delta $ có vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow {n _P}} = \left( {2;2; - 1} \right)$ và qua I nên có phương tŕnh là $\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 2t\\
y = - 1 + 2t\\
z = 3 - t
\end{array} \right.\;\left( {t \in R} \right)$.
Tọa độ của $N_0$ ứng với t nghiệm đúng phương trình:
$2\left( {2 + 2t} \right) + 2\left( { - 1 + 2t} \right) - \left( {3 - t} \right) + 16 = 0 \Leftrightarrow 9t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{{15}}{9} = - \frac{5}{3}$.
Suy ra ${N_0}\left( { - \frac{4}{3}; - \frac{{13}}{3};\frac{{14}}{3}} \right)$.
Ta có $\overrightarrow {I{M_0}} = \frac{3}{5}\overrightarrow {I{N_0}} .$ Suy ra $M_0(0;-3;4)$
Vậy M,N cần tìm có tọa độ Mo,No như trên.

Bài 101239

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101239

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan