|
|
a. Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến, ta có $2\pi r = 8\pi \Rightarrow r = 4$
Khoảng cách từ I tới (P) là h, với $h = \frac{{\left| {2 + 4 - 2 + 5} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 3$
Vậy (S ) có bán kính $R = \sqrt {{h^2} + {r^2}} = \sqrt {9 + 16} = 5$
Vì lẽ đó (S ) có phương trình ${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 2)^2} = 25$
b. Gọi (Q) là tiếp diện. Vì (Q) chứa (d), nên (Q) thuộc chùm mặt phẳng
$\alpha \left( {2x - y - 5} \right) + \beta \left( {y - z + 3} \right) = 0$
Rõ ràng $\alpha \ne 0$, nên có thể viết lại chùm mặt phẳng dưới dạng
$(Q_m):\left( {2x - y - 5} \right) + m\left( {y - z + 3} \right) = 0$ hay $2x + (m - 1)y - mz + 3m - 5 = 0$
Ta có phương trình sau để xác định m
$d(I;(Q_m))=R\Rightarrow \frac{{\left| {2 + 2(m - 1) + 2m + 3m - 5} \right|}}{{\sqrt {4 + {{(m - 1)}^2} + {m^2}} }} = 5 \Leftrightarrow \left| {7m - 5} \right| = 5\sqrt {2{m^2} - 2m + 5} $
$ \Leftrightarrow 49{m^2} - 70m + 25 = 50{m^2} - 50m + 125 \Leftrightarrow {m^2} + 20m + 100 = 0$
$ \Leftrightarrow {(m + 10)^2} = 0 \Rightarrow m = - 10$
Vậy tiếp diện (Q) có phương trình $2x - 11y + 10z - 35 = 0$
c. Đường thẳng (d) có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&0\\
1&{ - 1}
\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&2\\
{ - 1}&0
\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 1}\\
0&1
\end{array}} \right|} \right) = (1,2,2)$
Rõ ràng điểm M(0,-5,-2) thuộc (d).
Vậy khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng (d) là h1, với ${h_1} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$.
Do $\overrightarrow {IM} = ( - 1, - 7,0)$nên $\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 7}&0\\
2&2
\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1\\
2&{ - 1}
\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
{ - 1}&{ - 7}
\end{array}} \right|} \right) = ( - 14, - 2, - 5)$
Do vậy ${h_1} = \frac{{\sqrt {196 + 4 + 25} }}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = \frac{{15}}{3} = 5 = R$
Từ h1 = R, suy ra đường thẳng (d) tiếp xúc với (S )
|