|
|
Giải
a) Ta có:
Phương trình \( (1)\) và \( (2) \) có nghiệm chung
\(\Leftrightarrow \) hệ \(\begin{cases}x^{2}+x-m=0 \\ x^{2}-mx+1=0 \end{cases}\) có nghiệm
\(\Leftrightarrow \) hệ \(\begin{cases}x+y=m \\ -mx+y=-1 \end{cases} (3) \) có nghiệm thỏa mãn; \(y=x^{2}\).
Hệ \( (3) \) có $D = \left| \begin{array}{l}
\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\\
- m\,\,\,1
\end{array} \right| = 1 + m$
$Dx = \left| \begin{array}{l}
m\,\,\,\,\,\,\,\,1\\
- 1\,\,\,\,\,\,\,1
\end{array} \right| = m + 1$
$Dy = \left| \begin{array}{l}
1\,\,\,\,\,\,\,\,m\\
- m\,\,\,\, - 1
\end{array} \right| = {m^2} - 1$
- Nếu \(D\neq 0\) hay \(m\neq -1\), thì hệ \( (3) \) có nghiệm duy nhất
\(\begin{cases}x=\frac{D_{x}}{D}=\frac{m+1}{m+1}=1 \\ y=\frac{D_{y}}{D}=\frac{m^{2}-1}{m+1}=m-1 \end{cases}\)
Khi đó: \(y=x^{2}\Leftrightarrow m-1=1\Leftrightarrow m=2\).
- Nếu \( D=0\) hay \(m=-1\), thì các phương trình \( (1)\) và \( (2)\) đều vô nghiệm. Giá trị \( m=-1\) bị loại.
Vậy với \( m=2\) thì phương trình \( (1)\) và \( (2)\) có chung nghiệm.
b) Với \(m=2\) thì \( (1)\) trở thành \(x^{2}+x-2=0\) và có tập nghiệm \(S_{1}=\left \{ 1;2\left. \right \} \right.\) \( ; (2)\) trở thành \(x^{2}-2x+1=0\) và có tập nghiệm \(S_{2}=\left \{ 1\left.\right \} \right.\neq S_{1}\).
Khi đó \(S_{2}\neq S_{1}\). Vậy với \(m=2\) ( tức là khi hai phương trình có nghiệm chung) thì hai phương trình không tương đương.
Do đó để hai phương trình tương đương thì \( (1)\) và \( (2)\) phải cùng vô nghiệm, tức là:\(\begin{cases}\\\Delta_{1}= 1+4m<0 \\ \Delta_{2}= m^{2}-4<0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m<-\frac{1}{4} \\ -2<m<2 \end{cases}\Leftrightarrow -2<m<-\frac{1}{4}\).
|