|
|
Giải
Ta có
Hai phương trình có nghiệm chung \(\Leftrightarrow \) hệ \(\begin{cases}x^{2}+p_{1}x+q_{1}=0 \\ x^{2}+p_{2}x+q_{2}=0 \end{cases}\) có nghiệm
\(\Leftrightarrow \) hệ \(\begin{cases} p_{1}x+y=-q_{1} \\ p_{2}x+y=-q_{2} \end{cases}\) \( (1)\) có nghiệm thỏa mãn: \(y=x^{2}\).
Hệ \( (3)\) có : $D = \left| \begin{array}{l}
{p_1}\,\,\,\,\,\,\,\,1\\
{p_2}\,\,\,\,\,\,\,1
\end{array} \right| = {p_1} - {p_2}$
${D_x} = \left| \begin{array}{l}
- {q_1}\,\,\,\,\,\,\,\,1\\
- {q_2}\,\,\,\,\,\,\,1
\end{array} \right| = {q_2} - {q_1}$
$Dy = \left| \begin{array}{l}
{p_1}\,\,\,\,\,\,\,\, - {q_1}\\
{p_2}\,\,\,\,\,\,\, - {q_2}
\end{array} \right| = {q_1}{p_2} - {q_2}{p_1}$
- Nếu \( D\neq 0\Leftrightarrow p_{1}\neq p_{2}\), thì hệ \( (3)\) có nghiệm duy nhất
\(\begin{cases}x=\frac{D_{x}}{D}=\frac{q_{2}-q_{1}}{p_{1}-p_{2}} \\ y=\frac{D_{y}}{D}=\frac{ {q_1}{p_2} - {q_2}{p_1}}{ {p_1} - {p_2}} \end{cases}\)
Khi đó: \(y=x^{2}\Leftrightarrow ({p_1} - {p_2})^2 =( {q_1}{p_2} - {q_2}{p_1})({p_1} - {p_2})\).
- Nếu \(D=0\) hay \({p_1} = {p_2}\) thì: hệ \(\begin{cases} p_{1}x+y=-q_{1} \\ p_{2}x+y=-q_{2} \end{cases}\) có nghiệm \(\Leftrightarrow {q_1} = {q_2} \)
Khi đó \(({p_1} - {p_2})^2 =( {q_1}{p_2} - {q_2}{p_1})({p_1} - {p_2})=0\).
|