|
|
$1)$ ĐK: $x,y>0$
Lấy lôgarit thập phân, ta có hệ:$\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x + y} \right)\log x = 12\log y(*)\\
\left( {x + y} \right)\log y = 3\log x
\end{array} \right.$
Nhận xét $\log x = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\log y = 0\,\,\,$nên $(1,\,1)$là $1$ nghiệm
Giả sử $\log x \ne 0,\,\,\,\log y \ne 0$, chia các phương trình theo vế:
$\frac{{\log x}}{{\log y}} = 4\frac{{\log y}}{{\log x}}$ $ \Leftrightarrow \frac{logx}{logy}=\pm 2\Leftrightarrow x=y^2$
+$x=y^2$, thay vào (*) có: $y(y+1)2.logy=12.logy\Leftrightarrow y^2+y-6=0\Leftrightarrow y=2 hoặc y=-3$(loại)
$y=2\Leftrightarrow x=4 $
Phương trình có nghiệm: $(1,\,1)\,\,;\,\,(4,\,2)$
$2)$ $x \pm y \ne 0$
Lấy lôgarit cơ số $2$ hai vế phương trình ${x^2} - {y^2} = 1$
Ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}
{\log _2}\left( {x + y} \right) - {\log _3}\left( {x - y} \right) = 1\\
{\log _2}\left( {x + y} \right) + {\log _2}\left( {x - y} \right) = 0
\end{array} \right.$
Từ đó: ${\log _2}\left( {x + y} \right) = \frac{1}{{1 + {{\log }_2}3}};\,\,\,\,{\log _2}\left( {x - y} \right) = - \frac{1}{{1 + {{\log }_2}3}}$
ĐS: $\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{2}\left( {{2^M} + {2^{ - M}}} \right)\\
y = \frac{1}{2}\left( {{2^M} - {2^{ - M}}} \right)
\end{array} \right.$ với $M = \frac{1}{{1 + {{\log }_2}3}}$
|