Bài 101593

Question

Giải các hệ :
$\begin{array}{l}
1)\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
\left( {1 + 2{{\log }_{\left| {xy} \right|}}2} \right).{\log _{x + y}}\left| {xy} \right| = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
x - y = 2\sqrt {3\,} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)
\end{array} \right.\\
2)\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{\log _{\left| {xy} \right|}}\left( {x - y} \right) = 1\\
2{\log _5}\left| {xy} \right|.{\log _{\left| {xy} \right|}}\left( {x + y} \right) = 1
\end{array} \right.
\end{array}$

score 0 · Answer 1

101593
$1)$
Điều kiện $
\left\{ \begin{array}{l}
xy \ne 1\\
0 < x + y \ne 1
\end{array} \right.$
$(1) \Leftrightarrow {\log _{x + y}}\left| {xy} \right|.{\log _{\left| {xy} \right|}}4\left| {xy} \right| = 1\\
\Leftrightarrow {\log _{x + y}}4\left| {xy} \right| = 1\\
\Leftrightarrow 4\left| {xy} \right| = x + y
$
Từ đó ta có hệ :$\left\{ \begin{array}{l}
\,4\left| {xy} \right| = x + y\\
x - y = 2\sqrt {3\,}
\end{array} \right.$
    $\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
y = x - 2\sqrt 3 \\
4\left| {x\left( {x - 2\sqrt 3 } \right)} \right| = 2x - 2\sqrt 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
x\ge \sqrt{3} (do   x+y>0) \\
{\left[ {2\left( {x - 2\sqrt 3 } \right)} \right]^2} - {\left( {x - \sqrt 3 } \right)^2} = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
x\ge \sqrt{3} \\
\left[ \begin{array}{l}
2{x^2} - \left( {4\sqrt 3 - 1} \right)x - \sqrt 3 = 0\\
2{x^2} - \left( {4\sqrt 3 + 1} \right)x + \sqrt 3 = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{2}\\
x = 2 + \sqrt 3
\end{array} \right.
\end{array}$
- Với $x = 2+\sqrt{3}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,y = x - 2\sqrt 3 = 2 - \sqrt 3 $
$xy = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 1:$ Không thỏa điều kiện
Vậy hệ có một nghiệm là$\left( {\frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{2},\,\,\frac{{3 - 2\sqrt 3 }}{2}} \right)$
$2)$
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} 1\ne |xy|>0\\ x-y>0\\x+y>0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1\ne |xy|>0\\ x>|y| \end{array} \right.$
Hệ PT $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-y=x|y|\\ 2\log_5(x+y)=1 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-y=x|y|\\ x+y=\sqrt{5} \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x-\sqrt{5}=x|\sqrt{5}-x|\\ y=\sqrt{5}-x \end{array} \right.
$
$\left\{ \begin{array}{l} y=\sqrt{5}-x\\
\left[ \begin{array}{l} x^2-(\sqrt{5}-2)x-\sqrt{5}=0\\ x^2-(\sqrt{5}+2)x+\sqrt{5}=0 \end{array} \right.
\end{array} \right.$
Do $ x>y \Rightarrow x>\frac{\sqrt{5}}{2}$
Suy ra, hệ có nghiệm: $\left[ \begin{array}{l} x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}; y=\frac{\sqrt{5}-1}{2} (loại   do   |xy|=1)\\ x=\frac{\sqrt{5}+5}{2}; y=\frac{\sqrt{5}-5}{2} \end{array} \right.$

ĐS:   $\left( {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2},\,\frac{{\sqrt 5 -5}}{2}} \right)$

Bài 101593

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101593

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ phương trình, bất phương trình mũ, logarit bằng pp đại số

Lý thuyết liên quan