Bài 101632

Question

Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Hai điểm $M, N$ chuyển động trên hai đoạn thẳng $BD$ và $B’A$ tương ứng sao cho $BM = B’N = t$. Gọi $\alpha ;\beta $ lần lượt là các góc tạo bởi đường thẳng $MN$ với các đường thẳng $BD, B’A$
$1$. Tính độ dài đoạn $MN$ theo $a$ và $t$. Tìm $t$ để độ dài $MN$ đạt giá trị nhỏ nhất
$2$. Tính $\alpha ;\beta $ khi độ dài đoạn $MN$ đạt giá trị nhỏ nhất
$3$. Trong trường hợp tổng quát, chứng minh hệ thức $\cos^2\alpha + \cos^2\beta = \frac{1}{2}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/26/2012 5:13:51 PM

Chọn hệ tọa độ $Oxyz$ sao cho $B'\left( {0,0,0} \right);B\left( {0,0,a} \right);C\left( {0,a,0} \right);A'\left( {a,0,0} \right)$ thì từ giả thiết suy ra $A\left( {a,0,a} \right); D\left( {a,a,a} \right)$ và cặp điểm M,N:
$M\left( {\frac{t}{{\sqrt 2 }};\frac{t}{{\sqrt 2 }};a} \right);N\left( {\frac{t}{{\sqrt 2 }};0;\frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)$ với $0 \le t \le a\sqrt 2 $
$1$. $\overrightarrow {MN} = \left( {0;\frac{{ - t}}{{\sqrt 2 }};\frac{t}{{\sqrt 2 }} - a} \right)$
$\Rightarrow MN = |\overrightarrow {MN} | = \sqrt {\frac{{{t^2}}}{2} + {{\left( {\frac{t}{{\sqrt 2 }} - a} \right)}^2}} = \sqrt {{t^2} - at\sqrt 2 + {a^2}}$
$ = \sqrt {{{\left( {t - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \ge \sqrt {\frac{{{a^2}}}{2}} $= $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Vậy $M$ đạt giá trị nhỏ nhất $ \Leftrightarrow t = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\left( { \in \left[ {0,a\sqrt 2 } \right]} \right)$
$2$. Ta có $\overrightarrow {BD} = \left( {a;a;0} \right) = a.\left( {1;1;0} \right) \Rightarrow $đường thẳng $BD$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1;1;0} \right);\overrightarrow {B'A} = \left( {a;0;a} \right) = a.\left( {1;0;1} \right) \Rightarrow $đường thẳng $B’A$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow v = \left( {1;0;1} \right)$
Đường thẳng $MN$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow {MN} = \left( {0;\frac{{ - t}}{{\sqrt 2 }};\frac{t}{{\sqrt 2 }} - a} \right)$
Do đó $c{\rm{os}}\alpha =\frac{ |\overrightarrow u. \overrightarrow {MN} | }{ |\overrightarrow u|| \overrightarrow {MN} | }= \frac{{\left| { - \frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right|}}{{\sqrt {2.} \sqrt {{t^2} - a\sqrt 2 + {a^2}} }};$
$c{\rm{os}}\beta {\rm{ = \frac{ |\overrightarrow v. \overrightarrow {MN} | }{ |\overrightarrow v|| \overrightarrow {MN} | } = }}\frac{{\left| {\frac{t}{{\sqrt 2 }} - a} \right|}}{{\sqrt {2.} \sqrt {{t^2} - a\sqrt 2 t + {a^2}} }}$
Khi $MN$ nhỏ nhất thì $t = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{a}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c{\rm{os}}\alpha = \frac{{\left| { - \frac{a}{2}} \right|}}{{\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{1}{2}\\
c{\rm{os}}\beta = \frac{{\left| {\frac{a}{2}} \right|}}{{\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \alpha = \beta = {60^0}$
$3$. $c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha $ = $\frac{{\frac{{{t^2}}}{2}}}{{2\left( {{t^2} - a\sqrt 2 t + {a^2}} \right)}}$ =$ \frac{\frac{t^2}{2}}{{2.( \frac{{{t^2}}}{2} + {{\left( {\frac{t}{{\sqrt 2 }} - a} \right)}^2) }}}$
$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\beta = \frac{{{{\left( {\frac{t}{{\sqrt 2 }} - a} \right)}^2}}}{{2\left( {{t^2} - a\sqrt 2 t + {a^2}} \right)}} = \frac{{{{\left( {\frac{t}{{\sqrt 2 }} - a} \right)}^2}}}{{2.( \frac{{{t^2}}}{2} + {{\left( {\frac{t}{{\sqrt 2 }} - a} \right)}^2) }}}$
$ \Rightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\beta = \frac{1}{2}$

Bài 101632

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101632

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan