Bài 106910

Question

Cho

$A(1;3;-2), B(13;7;-4)$ và mặt phẳng

$(\alpha ):x-2y+2z-9=0$
a)Tìm hình chiếu

$H$ của

$A$ trên

$mp(\alpha)$
b)Tìm

$I\in (\alpha )$ sao cho

$IA+IB$ ngắn nhất
c)Cho

$K(5;-1;1)$ . Chứng minh

$AIHK$ là tứ diện. Tính thể tích của

$AIHK$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/5/2012 3:08:43 PM

a) Phương trình tham số của

$d$ qua

$A$ và vuông góc với

$(\alpha )$ :

$\left\{ \begin{array}{l} x=1+t\\ y=3-2t\\z=-2+2t \end{array} \right. (t\in R)$
Thế vào phương trình mặt phẳng

$(\alpha )$ ta được:

$(1+t)-2(3-2t)+2(-2+2t)-9=0$

$\Leftrightarrow 9t-18=0\Leftrightarrow t=2$
vậy

$H(3;-1;2)$

b) thế tọa độ

$A, B$ vào phương trình

$mp(\alpha )$
Ta có:

$1-6-4-9=-18<0$

$13-14-8-9=-18<0$
Vậy

$A,B$ nằm cùng phía đối với

$(\alpha )$
Gọi

$C$ là điểm đối xứng của

$A$ qua

$(\alpha )$

$H$ là trung điểm của

$AC$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_C=2x_H-x_A=6-1=5\\ y_C=2y_H-y_A=-2-3=-5\\z_C=2Z_H-z_A=4+2=6 \end{array} \right.$
Ta có:

$\forall M\in (\alpha ):MA+MB=MC+MB\geq BC$
Dấu bằng xảy ra

$\Leftrightarrow M$ nằm giữa hai điểm

$A, B$

$M\equiv I$ là giao điểm của

$BC$ và

$(\alpha )$
Phương trình tham số đường thẳng

$BC:\left\{ \begin{array}{l} x=13+4t\\ y=7+6t\\z=-4-5t \end{array} \right. (t\in R)$
Thay vào phương trình

$mp(\alpha )$ ta được:

$(13+4t)-2(7+6t)+2(-4-5t)-9=0\Leftrightarrow -18t-18=0\Leftrightarrow t=-1$
Vậy

$I(9;1;1)$ thì

$IA+IB$ ngắn nhất

c) Ta thấy:

$K(5;-1;1)\in (\alpha )$ vì

$5+2+2-9=0$
Vậy ba điểm

$I, H, K\in (\alpha )$
Mà

$A\notin (\alpha )$ . Vậy

$AIHK$ là tứ diện
Ta có:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {IH} = ( - 6; - 2;1),\,\overrightarrow {IK} = ( - 4; - 2;0)\\ \Rightarrow {S_{HIK}} = \frac{1}{2}\sqrt {\left| \begin{array}{l} - 2\\ - 2 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,{{\left. \begin{array}{l} 1\\ 0 \end{array} \right|}^2} + \left| \begin{array}{l} 1\\ 0 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,{{\left. \begin{array}{l} - 6\\ - 4 \end{array} \right|}^2} + \left| \begin{array}{l} - 6\\ - 4 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,{{\left. \begin{array}{l} - 2\\ - 2 \end{array} \right|}^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {4 + 16 + 16} = 3\\ \Rightarrow {V_{AIKH}} = \frac{1}{3}d(A,(\alpha )).{S_{HIK}} = \frac{1}{3}.| - 6|.3 = 6 (đvdt) \end{array}$

Bài 106910

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106910

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan